2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8312
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#21

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 6:33 pm

GI_V_GEO_2_19011

Από ένα σημείο \Sigma που βρίσκεται έξω από έναν δοσμένο κύκλο φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα \Sigma A και \Sigma B και μία τέμνουσα \Sigma \Gamma\Delta.
Να αποδείξετε ότι:
α)i. Τα τρίγωνα \Sigma B\Gamma και \Sigma\Delta B είναι όμοια.
ii. Τα τρίγωνα \Sigma A\Gamma και \Sigma\Delta A είναι όμοια. (Μονάδες 16)
β) A\Gamma⋅B\Delta=A\Delta⋅B\Gamma (Μονάδες 9)

Λύση.

α)i. Τα τρίγωνα \Sigma B\Gamma και \Sigma\Delta B είναι όμοια γιατί έχουν τη γωνία \widehat\Sigma_1 κοινή και \displaystyle{{\rm B}\widehat \Delta \Sigma  = \Gamma \widehat {\rm B}\Sigma  = \varphi }(σχέση εγγεγραμμένης γωνίας και γωνίας χορδής κι εφαπτομένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο).

ii. Για τον ίδιο λόγο τα τρίγωνα \Sigma A\Gamma και \Sigma\Delta A είναι όμοια (\widehat\Sigma_2 κοινή και \displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta \Sigma  = \Gamma \widehat {\rm A}\Sigma  = \omega })
2_19011.png
2_19011.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 2459 φορές
β) Είναι \Sigma A=\Sigma B. Από τις παραπάνω ομοιότητες των τριγώνων, έχουμε:

\displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm B}}} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm A}}}} και \displaystyle{\frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{\Sigma \Gamma }}{{\Sigma {\rm A}}}}

Άρα: \displaystyle{\frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{{\rm A}\Gamma }}{{{\rm A}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm A}\Gamma  \cdot {\rm B}\Delta  = {\rm A}\Delta  \cdot {\rm B}\Gamma }
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19011.docx
(169.04 KiB) Μεταφορτώθηκε 133 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Νοέμ 12, 2014 7:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#22

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 6:50 pm

Ετοιμάζω την
GI_V_GEO_2_19014


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#23

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 12, 2014 7:01 pm

pap65 έγραψε:Κάποια συννημένα είναι σε doc και όλες οι εξισώσεις είναι εικόνες. ( όπως και οι εκφωνήσεις )
Αυτός που θα κάνει την μορφοποίηση δεν θα έχει πρόβλημα ;
πρέπει να ξαναγραφούν;
Θανάση έχεις δίκιο. Αντιμετωπίσαμε αυτό το πρόβλημα και στην κατεύθυνση, αλλά το λύσαμε με τον πλέον φυσικό τρόπο. Ξαναγράψαμε τις εξισώσεις... :lol:

Χαιρόμαστε για την ευρεία συμμετοχή των φίλων του forum και την προσφορά τους. Κάποια προβλήματα συμβατότητας τα αντιμετωπίζουμε όπως μπορύμε.

Πάντως αν είναι εύκολο, οι συμβατές μορφές είναι word με εξισώσεις στο Mathtype ή απλό κείμενο Latex, το οποίο μεταγλωτίζεται εύκολα.


pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#24

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 8:17 pm

ΘΕΜΑ 19014

Τα παρακάτω τρίγωνα \displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma } και \displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta } έχουν:\widehat{A}=\widehat{Z} \widehat{B}=\widehat{E} και \displaystyle{\Alpha \Gamma =25,\text{  }\!\!\Epsilon\!\!\text{  }\!\!\Zeta\!\!\text{ }=12,\text{ E }\!\!\Delta\!\!\text{ }=18} και \displaystyle{\Zeta \Delta =15}

[attachment=1]2_19014.png[/attachment]

α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα \displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma } και \displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta } είναι όμοια.
(Μονάδες 8)
β) Να συμπληρώσετε την ισότητα των λόγων με τις κατάλληλες πλευρές του τριγώνου \displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta } : \displaystyle{\frac{BA}{.....}\text{= }\frac{A\Gamma }{.....}=\frac{\Gamma B}{.....}} (Μονάδες 9)
γ) Να υπολογίσετε τα x και y. (Μονάδες 8)


ΛΥΣΗ
α) Τα τρίγωνα \displaystyle{\Alpha \Beta \Gamma } και \displaystyle{\Delta \Epsilon \Zeta } είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες τους

( \widehat{A}=\widehat{Z} και \widehat{B}=\widehat{E} ) μία προς μία ίσες .

β) Επομένως θα έχουν τις αντίστοιχες ( ομόλογες ) πλευρές τους ανάλογες :

\displaystyle{\frac{BA}{ZE}\text{= }\frac{A\Gamma }{Z\Delta }=\frac{\Gamma B}{E\Delta }} (1)

γ) Από την σχέση ( 1) αντικαθιστώντας \displaystyle{\frac{y}{12}\text{= }\frac{x}{18}=\frac{25}{15}}

\displaystyle{\frac{y}{12}\text{= }\frac{25}{15}\Leftrightarrow \frac{y}{12}\text{=}\frac{5}{3}\Leftrightarrow 3y=60\Leftrightarrow y=\frac{60}{3}=20}

\displaystyle{\frac{x}{18}=\frac{25}{15}\Leftrightarrow \frac{x}{18}=\frac{5}{3}\Leftrightarrow 3x=90\Leftrightarrow x=30}
Συνημμένα
2_19014.docx
(77.62 KiB) Μεταφορτώθηκε 130 φορές
2_19014.png
2_19014.png (6.46 KiB) Προβλήθηκε 2451 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#25

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 10:03 pm

Ετοιμάζω το

GI_V_GEO_2_19015
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Τετ Νοέμ 12, 2014 11:35 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Mirisiotis
Δημοσιεύσεις: 5
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 5:58 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ (19017)

#26

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mirisiotis » Τετ Νοέμ 12, 2014 10:48 pm

Ασχολήθηκα με το Θέμα 2 GI_V_GEO_2_19017
Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά.
Αναρτώ μόνο το pdf αρχείο.
Παρακαλώ ενημερώστε με αν κάτι έχω κάνει παράτυπο ή λάθος, για να συνεχίσω με τον ίδιο τρόπο ή όχι.
Σας ευχαριστώ.
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 (19017).doc
(58.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 118 φορές
ΘΕΜΑ 2 (19017).pdf
(129.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 145 φορές
τελευταία επεξεργασία από Mirisiotis σε Πέμ Νοέμ 13, 2014 8:27 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#27

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:22 pm

GI_V_GEO_2_19019

Στο σχήμα που ακολουθεί ισχύουν ΑΒ//ΔΓ, ΑΕ=6, ΑΒ=8, ΓΕ=15 και ΔΕ=10.
19019.png
19019.png (10.87 KiB) Προβλήθηκε 2370 φορές
α) Να βρείτε δυο ζεύγη ίσων γωνιών των τριγώνων ΑΕΒ και ΔΕΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΒ και ΔΕΓ είναι όμοια και να γράψετε την ισότητα των λόγων των ομόλογων πλευρών τους. (Μονάδες 9)
γ) Να υπολογίσετε τα τμήματα ΒΕ και ΔΓ. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

α) Είναι \hat{EAB}=\hat{E\Gamma \Delta} και \hat{EBA}=\hat{E \Delta \Gamma} και στις δύο περιπτώσεις ως εντός εναλλάξ των παράλληλων ευθειών ΑΒ, ΓΔ.

β) Αφού τα τρίγωνα ΕΑΒ και ΔΕΓ έχουν δύο γωνίες τους ίσες μία προς μία, είναι όμοια, οπότε ισχύει: \frac{AB}{ \Delta \Gamma }=\frac{BE}{ \Delta E }=\frac{AE}{ \Gamma E }.

γ)\frac{BE}{ \Delta E }=\frac{AE}{ \Gamma E }\Leftrightarrow \frac{BE}{10}=\frac{6}{15}\Leftrightarrow 15BE=6\cdot  10\Leftrightarrow BE=4

και \frac{AB}{ \Delta \Gamma }=\frac{AE}{ \Gamma E } \Leftrightarrow \frac{8}{\Delta \Gamma }=\frac{6}{15}\Leftrightarrow 6\Delta \Gamma =8\cdot 15\Leftrightarrow \Delta \Gamma =20.
Συνημμένα
19019.doc
(45 KiB) Μεταφορτώθηκε 129 φορές
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Πέμ Νοέμ 13, 2014 12:37 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Θοδωρής Καραμεσάλης
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#28

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:34 pm

GI_V_GEO_2_19015

Στο σχήμα που ακολουθεί, το τμήμα ΔΕ είναι παράλληλο στην πλευρά ΒΓ του τριγώνου ΑΒΓ
και επιπλέον ισχύουν ΑΔ=4, ΔΒ=5 και ΔΕ=6.


[attachment=1]2_19015.png[/attachment]




α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια. (Μονάδες 9)

β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος α) να συμπληρώσετε τα κενά στην ισότητα:

\frac{AB}{\ldots }=\frac{\ldots }{\Delta E}=\frac{A\Gamma }{\ldots } (Μονάδες 9)

γ) Ένας μαθητής χρησιμοποιεί την αναλογία \frac{4}{6}=\frac{5}{x} για να υπολογίσει το x. Να εξηγήσετε γιατί αυτή η αναλογία είναι λάθος, να γράψετε τη σωστή

και να υπολογίσετε την τιμή του x. (Μονάδες 7)


ΛΥΣΗ

α) Ισχύει ότι \Delta E//B\Gamma . Συνεπώς \widehat{B}=\widehat{\Delta } και \widehat{\Gamma }=\widehat{E} ως εντός εκτός και επί τα αυτά.

Έτσι τα τρίγωνα A\Delta E και AB\Gamma είναι όμοια αφού έχουν τις γωνίες μία προς μία ίσες.

β) Αφού τα τρίγωνα είναι όμοια θα έχουν τις ομόλογες πλευρές της ανάλογες :

Δηλαδή \frac{AB}{A\Delta }=\frac{B\Gamma }{\Delta E}=\frac{A\Gamma }{AE}

γ) Είναι λάθος , γιατί το τμήμα με μήκος 5 δεν είναι πλευρά κανενός τριγώνου.

Η σωστή αναλογία θα ήταν \frac{A\Delta }{\Delta E}=\frac{AB}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{4}{6}=\frac{9}{x}\Leftrightarrow 4x=36\Leftrightarrow x=9
Συνημμένα
2_19015.docx
(56.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 133 φορές
2_19015.png
2_19015.png (5.15 KiB) Προβλήθηκε 2384 φορές
τελευταία επεξεργασία από pap65 σε Τετ Νοέμ 12, 2014 11:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4387
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ (19017)

#29

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:37 pm

Mirisiotis έγραψε:Ασχολήθηκα με το Θέμα 2 GI_V_GEO_2_19017
Δεν ξέρω αν κατάλαβα καλά.
Αναρτώ μόνο το pdf αρχείο.
Παρακαλώ ενημερώστε με αν κάτι έχω κάνει παράτυπο ή λάθος, για να συνεχίσω με τον ίδιο τρόπο ή όχι.
Σας ευχαριστώ.
Καλώς ήλθες!
Με βάση τους κανονισμούς του :logo: , γράφουμε σε Latex τα μαθηματικά κείμενα.
Ειδικά σε αυτούς τους φακέλους, αναρτάμε συνημμένα και τα αρχεία Word, ώστε να διευκολυνθούν οι επιμελητές στην αποδελτίωση των λύσεων.
Αν είναι εύκολο, ανάρτησε το αρχείο word, ώστε να μάς διευκολύνεις να αναρτήσουμε εμείς τη λύση σου και σε Latex, μέχρι να εξοικοιωθείς με τη χρήση του.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8312
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#30

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Νοέμ 12, 2014 11:52 pm

GI_V_GEO_2_19036

Οι διαγώνιοι του τραπεζίου AB\Gamma\Delta(AB//\Gamma\Delta) με \Gamma\Delta>AB τέμνονται στο O. Η παράλληλη
από το B προς την A\Delta τέμνει την A\Gamma στο M.
Αν OA=12, OB=9 και O\Gamma=36, να αποδείξετε ότι:
α) O\Delta = 27 (Μονάδες 12)
β) OM = 4 (Μονάδες 13)

Λύση.
2_19036.png
2_19036.png (6.19 KiB) Προβλήθηκε 2364 φορές
α) \displaystyle{{\rm A}{\rm B}||\Gamma \Delta  \Rightarrow \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}{\rm B}}} = \frac{{{\rm O}\Gamma }}{{{\rm O}\Delta }} \Leftrightarrow \frac{{12}}{9} = \frac{{36}}{{{\rm O}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm O}\Delta  = \frac{{9 \cdot 36}}{{12}} \Leftrightarrow {\rm O}\Delta  = 27}

β) \displaystyle{{\rm B}{\rm M}||{\rm A}\Delta  \Rightarrow \frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} = \frac{{{\rm O}{\rm M}}}{{{\rm O}{\rm B}}} \Leftrightarrow \frac{{12}}{{27}} = \frac{{{\rm O}{\rm M}}}{9} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm M} = \frac{{9 \cdot 12}}{{27}} \Leftrightarrow {\rm O}{\rm M} = 4}
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19036.docx
(145.06 KiB) Μεταφορτώθηκε 121 φορές


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#31

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Νοέμ 13, 2014 12:58 am

καλησπέρα. Ανεβάζω την 19035 η οποία δεν έχει λυθεί και δεν αναφέρεται στην παρατήρηση του Γιώργου Ρίζου
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 - 19035.docx
(44.4 KiB) Μεταφορτώθηκε 167 φορές


ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#32

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Πέμ Νοέμ 13, 2014 1:21 am

Ανεβάζω και την 19024
Συνημμένα
ΘΕΜΑ 2 - 19024.docx
(43.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 170 φορές


Νίκος Ξενιάδης
Δημοσιεύσεις: 24
Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#33

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νίκος Ξενιάδης » Πέμ Νοέμ 13, 2014 11:01 am

Νίκος Ξενιάδης την 2-19041
Συνημμένα
n2-19041geo.rar
(38.3 KiB) Μεταφορτώθηκε 167 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8312
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#34

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 13, 2014 11:10 am

GI_V_GEO_2_19030

Στη διχοτόμο O\delta της γωνίας x\widehat Oy θεωρούμε τα σημεία A,B τέτοια ώστε OB=2OA.
Η κάθετος στην O\delta στο σημείο A τέμνει την πλευρά Ox στο σημείο E και έστω \Delta η προβολή του B στην Oy.
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα τρίγωνα OAE και O\Delta B είναι όμοια. (Μονάδες 10)
β) \displaystyle{2{\rm O}{{\rm A}^2} = {\rm O}\Delta  \cdot {\rm O}{\rm E}}. (Μονάδες 15)

Λύση.

α) Τα τρίγωνα OAE και O\Delta B είναι όμοια επειδή είναι ορθογώνια και έχουν \displaystyle{{\widehat {\rm O}_1} = {\widehat {\rm O}_2}}

β) Απέναντι από τις ίσες γωνίες είναι ανάλογες πλευρές.

\displaystyle{\frac{{{\rm O}{\rm A}}}{{{\rm O}\Delta }} = \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{{\rm O}{\rm B}}}\mathop  = \limits^{{\rm O}{\rm B} = 2{\rm O}{\rm A}} \frac{{{\rm O}{\rm E}}}{{2{\rm O}{\rm A}}} \Leftrightarrow 2{\rm O}{{\rm A}^2} = {\rm O}\Delta  \cdot {\rm O}{\rm E}}
2_19030.png
2_19030.png (5.51 KiB) Προβλήθηκε 2273 φορές
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19030.docx
(140.61 KiB) Μεταφορτώθηκε 122 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8312
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#35

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 13, 2014 11:48 am

GI_V_GEO_2_19033

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο AB\Gamma\Delta και τα σημεία E,Z,H και \Theta των πλευρών του A\Delta, AB, B\Gamma, \Gamma\Delta

αντίστοιχα τέτοια, ώστε \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Gamma {\rm H}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{{\Gamma \Theta }}{{\Gamma \Delta }} = \frac{1}{3}}. Να αποδείξετε ότι:

α)EZ//\Theta H//\Delta B. (Μονάδες 10)
β) EZ =\Theta H = \displaystyle{\frac{1}{3}}\displaystyle{\Delta B. (Μονάδες 10) 
γ) EZH\Theta παραλληλόγραμμο. (Μονάδες 5) 
 
<strong class="text-strong"><span style="color:#4000FF">Λύση.</span></strong> 
 
α) \displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm E}}}{{{\rm A}\Delta }} = \frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm B}}} \Leftrightarrow {\rm E}{\rm Z}||\Delta {\rm B}} και \displaystyle{\frac{{\Gamma {\rm H}}}{{\Gamma {\rm B}}} = \frac{{\Gamma \Theta }}{{\Gamma \Delta }} \Leftrightarrow \Theta {\rm H}||\Delta {\rm B}} 

<div class="inline-attachment"><!-- ia1 -->2_19033.png<!-- ia1 --></div>

β) Τα τρίγωνα AEZ, A\Delta B είναι όμοια, καθώς επίσης και τα \Gamma H\Theta, \Gamma B\Delta. Άρα έχουμε:  
 
\displaystyle{\frac{{{\rm E}{\rm Z}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{1}{3}} και \displaystyle{\frac{{\Theta {\rm H}}}{{\Delta {\rm B}}} = \frac{1}{3}}, οπότε EZ =\Theta H = \displaystyle{\frac{1}{3}}}\Delta B

γ) \displaystyle{{\rm E}{\rm Z}|| = \Theta {\rm H}}, άρα το EZH\Theta είναι παραλληλόγραμμο.

ΣΧΟΛΙΟ: Το (γ) ερώτημα, κατά τη γνώμη μου, δεν χρειαζόταν.
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19033.docx
(160.52 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές
2_19033.png
2_19033.png (10.4 KiB) Προβλήθηκε 2258 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8312
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#36

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Νοέμ 13, 2014 12:45 pm

GI_V_GEO_2_19026

Δίνεται τρίγωνο AB\Gamma και τυχαίο σημείο \Delta στην πλευρά B\Gamma. Φέρνουμε από το σημείο \Delta παράλληλες στις πλευρές A\Gamma και AB που τέμνουν αντίστοιχα τις πλευρές AB και A\Gamma στα σημεία E και Z.
Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}} (Μονάδες 10)

β) \displaystyle{\frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }}} (Μονάδες 10)

γ) \displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} + \frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = 1} (Μονάδες 5)

Λύση.

α) \displaystyle{\Delta {\rm E}||{\rm A}\Gamma }, άρα τα τρίγωνα B\Delta E, B\Gamma A είναι όμοια: \displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A} \Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}}

β) \displaystyle{\Delta {\rm Z}||{\rm A} B }, άρα τα τρίγωνα \Gamma\Delta Z, \Gamma BA είναι όμοια: \displaystyle{\frac{{\Delta {\rm Z}}}{{{\rm A} B }} = \frac{{{\rm \Gamma}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }}}

γ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο παραπάνω σχέσεις:

\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm E}}}{{{\rm A}\Gamma }} + \frac{{{\rm Z}\Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} = \frac{{{\rm B}\Delta }}{{{\rm B}\Gamma }} + \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = \frac{{{\rm B}\Gamma }}{{{\rm B}\Gamma }} = 1}
2_19026.png
2_19026.png (5.4 KiB) Προβλήθηκε 1965 φορές
edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό(το διόρθωσα και στο συνημμένο). Στο α) ερώτημα είχα γράψει τρίγωνο B\Gamma\Delta αντί για B\Gamma A. Ευχαριστώ τον dimkat που το εντόπισε.
Συνημμένα
GI_V_GEO_2_19026.doc.docx
(151.94 KiB) Μεταφορτώθηκε 70 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Τετ Νοέμ 26, 2014 12:28 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
asemarak
Δημοσιεύσεις: 25
Εγγραφή: Κυρ Ιαν 18, 2009 9:30 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#37

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από asemarak » Πέμ Νοέμ 13, 2014 11:57 pm

GI_V_GEO_2_19023

Στο παρακάτω σχήμα, τα πολύγωνα ΑΒΓΔΕ και ΚΛΜΝΡ είναι όμοια και έχουν \widehat{\Delta }=\widehat{N} και \widehat{B}=\widehat{\Lambda } .

α) Να προσδιορίσετε το λόγο ομοιότητάς τους. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς ΑΕ. (Μονάδες 8)

γ) Να βρείτε την περίμετρο του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ. (Μονάδες 9)
19023.png
19023.png (11.8 KiB) Προβλήθηκε 2198 φορές
ΛΥΣΗ

α) Οι πλευρές ΑΒ, ΚΛ είναι ομόλογες αφού \widehat{A}=\widehat{K}=90^{o} και \widehat{B}=\widehat{\Lambda }.

Άρα ο λόγος ομοιότητας του πολυγώνου ΑΒΓΔΕ προς το πολύγωνο ΚΛΜΝΡ είναι \lambda =\frac{AB}{K\Lambda }=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}.

β) Οι πλευρές ΑΕ, ΚΡ είναι ομόλογες (έχουν προσκείμενες τις ορθές γωνίες),

οπότε \lambda =\frac{AE}{KP }\Leftrightarrow \frac{2}{3}= \frac{x}{18}\Leftrightarrow 3x=36\Leftrightarrow x=12.

γ) Είναι \Pi _{K\Lambda MNP}=K\Lambda +\Lambda M+MN+NP+PK=15+12+9+15+18=69.

Ο λόγος των περιμέτρων των δύο πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

Άρα \frac{\Pi_{AB\Gamma \Delta E}}{\Pi_{K\Lambda MNP}} =\lambda \Leftrightarrow  \frac{\Pi_{AB\Gamma \Delta E}}{\ 69 } =\frac{2}{3}\Leftrightarrow \Pi_{AB\Gamma \Delta E } = 46.
Συνημμένα
19023.doc
(52.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 125 φορές


Θοδωρής Καραμεσάλης
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Δημοσιεύσεις: 73
Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#38

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ » Παρ Νοέμ 14, 2014 7:03 am

Kαλημέρα σε όλους. Νομίζω ότι η μόνη που δεν έχει απαντηθεί είναι η 19021. Την ανεβάζω και τελειώνουμε, νομίζω γενικώς με όλα τα υποθέματα της ''1ης δόσης'' των ασκήσεων. Καλό κουράγιο σε όλους :clap2:
Συνημμένα
2-19021.docx
(204.75 KiB) Μεταφορτώθηκε 155 φορές


sifis80
Δημοσιεύσεις: 85
Εγγραφή: Τρί Δεκ 30, 2008 12:18 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#39

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sifis80 » Πέμ Νοέμ 20, 2014 12:26 pm

kgeo67 έγραψε:GI_V_GEO_2_19008
Αφού ισχύει το αντίστροφο του Πυθαγoρείου δεν είναι περιττό να εξετάσουμε την τριγωνική ανισότητα;Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;


Antonis_A
Δημοσιεύσεις: 54
Εγγραφή: Δευ Σεπ 15, 2014 8:59 am

Re: 2o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#40

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_A » Πέμ Νοέμ 20, 2014 2:10 pm

sifis80 έγραψε: Υπάρχει περίπτωση τρεις θετικοί αριθμοί α,β, γ να ικανοποιούν το Πυθαγόρειο θεώρημα και όχι την τριγωνική ανισότητα;
Όχι βέβαια.

Νομίζω είναι πλεονασμός να ζητηθεί απόδειξη ότι κάθε (θετική) Πυθαγορική τριάδα ορίζει τρίγωνο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης