Σελίδα 2 από 4

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 11, 2014 3:04 pm
από pap65
Ετοιμάζω το 19027 (της ντροπής )

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 11, 2014 4:47 pm
από pap65
Υποβάλω την 19027 σε word , είχα ένα μικρό πρόβλημα με τ ο Latex. Θα το λύσω πιστεύω.

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 11, 2014 9:40 pm
από pap65
Έτοιμο και το Latex

ΘΕΜΑ 19027

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ και Ε των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντίςτοιχα, ώστε \frac{A\Delta }{AB}=\frac{AE}{A\Gamma }=\frac{1}{3} . Από το σημείο Α φέρνουμε ευθεία (ε) παράλληλη στη ΒΓ.

Η ευθεία (ε) τέμνει τις προεκτάσεις των ΒΕ και ΓΔ στα σημεία Ζ, Η αντίστοιχα.

Να αποδείξετε ότι:
α) \displaystyle{\Delta E//\Gamma B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} (Μονάδες 5)

β) ZE=\frac{1}{2}EB (Μονάδες 7)

γ) AZ=\frac{1}{2}B\Gamma (Μονάδες 7)

δ) \displaystyle{\left( BHZ \right)=2\left( ABZ \right)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} (Μονάδες 6)
19027.png
19027.png (7.65 KiB) Προβλήθηκε 3697 φορές





ΛΥΣΗ

Α) Οι ευθείες HZ//B\Gammaκαι ακόμη HZ,\Delta E και B\Gamma τέμνουν τις AB και A\Gamma και ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα, αφού ισχύει \frac{A\Delta }{AB}=\frac{AE}{A\Gamma } .

Επομέμως από το αντίστροφο του Θεωρήματος του Θαλή προκύπτει \displaystyle{\Delta E//\Gamma B//AZ~}.

Β) Εφαρμόζοντας το Θεώρημα Θαλή για τις παράλληλες \displaystyle{\Delta E,AZ~} B\Gammaκαι που τέμνουν τις AB και AZ παίρνομε τις αναλογίες:

\frac{A\Delta }{AB}=\frac{ZE}{ZB}\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{ZE}{ZB}\Leftrightarrow ZB=3ZE

\Leftrightarrow ZE+EB=3ZE\Leftrightarrow EB=2ZE\Leftrightarrow ZE=\frac{1}{2}EB.

Γ) Το τρίγωνο EAZ ορίζεται από την προέκταση των πλευρών EB και E\Gamma του τριγώνου AE\Gamma
και την AZ που είναι παράλληλη προς την τρίτη του πλευρά B\Gamma .

Έτσι σύμφωνα με το σχετικό θεώρημα οι πλευρές των δύο τριγώνων θα είναι ανάλογες.

Δηλαδή \frac{ZE}{EB}=\frac{AZ}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{1}{2}=\frac{AZ}{\Beta \Gamma }\Leftrightarrow A\Gamma =\frac{1}{2}B\Gamma. (1)

Δ) Με όμοιο τρόπο προκύπτει ότι τα τρίγωνα \Delta HA και \Delta B\Gamma έχουν πλευρές ανάλογες.

Δηλαδή \frac{A\Delta }{\Delta B}=\frac{HA}{B\Gamma }\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{\Delta B+A\Delta }=\frac{HA}{B\Gamma +HA}\Leftrightarrow \frac{A\Delta }{AB}=\frac{HA}{B\Gamma +HA}

\Leftrightarrow \frac{1}{3}=\frac{HA}{B\Gamma +HA}\Leftrightarrow B\Gamma +HA=3HA\Leftrightarrow HA=\frac{1}{2}B\Gamma (2)

Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι HA=AZ .

Επομένως στο τρίγωνο BHZ η BA αποτελεί διάμεσο και χωρίζει το τρίγωνο

( σύμφωνα με εφαρμογή του βιβλίου ) σε δύο τρίγωνα ίδιου εμβαδού .

\displaystyle{\left( ABZ \right)~=\left( AHB \right)~} .

Άρα \displaystyle{\left( BHZ \right)=\left( ABZ \right)~+~\left( AHB \right)~=2\left( ABZ \right)~~}

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Νοέμ 11, 2014 10:08 pm
από pap65
Ετοιμάζω την 4_19020
Νομίζω είναι η τελευταία :clap:

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 12, 2014 12:18 am
από pap65
ΠΡΟΣΟΧΗ!!

Συνάδελφοι θα ήθελα την γνώμη σας. Δεν βλέπω σε τι εξυπηρετεί το ερώτημα β .
Ένας μαθητής μπορεί να υπολογίσει ταυτόχρονα την απόσταση ΚΕ και να δείξει ότι αυτή είναι ανεξάρτητη της απόστασης ΑΒ .
Προφανώς και μπορεί να υπολογισθεί το ΚΕ κάνοντας χρήση του ΑΒ= 10 ( καταχρηστικά ) .
Επίσης το στοιχείο ΚΖ = 4 είναι σε κάθε περίπτωση παντελώς άχρηστο.

ΘΕΜΑ 4_19020

Σε δυο σημεία ενός ευθύγραμμου δρόμου ΑΒ βρίσκονται δύο κατακόρυφοι στύλοι ύψους 2 και 3 μέτρων αντίστοιχα.
Χρησιμοποιούμε δυο σύρματα για να ενώσουμε την κορυφή του καθενός με τη βάση του άλλου, ώστε τα δυο σύρματα να διασταυρώνονται σε ένα σημείο Κ (σχήμα).
19020  -1.png
19020 -1.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 3660 φορές
α) Να βρείτε τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων που σχηματίζονται.

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 8)

β) Προκειμένου να μετρήσουμε πόσο απέχει από το έδαφος το σημείο Κ στο οποίο διασταυρώνονται τα σύρματα, μετρήσαμε την απόσταση του Κ από τον μικρότερο στύλο και τον βρήκαμε 4 μέτρα. Αν η απόσταση ΑΒ των στήλων ήταν 10 μέτρα, πόσο απείχε το σημείο Κ από το έδαφος; (Μονάδες 9)

γ) Δείξτε ότι όποια και αν είναι η απόσταση ΑΒ που απέχουν οι δύο στύλοι μεταξύ τους, η απόσταση του Κ , όπου διασταυρώνονται τα δύο σύρματα από το έδαφος, θα είναι η ίδια. (Μονάδες 8)

ΛΥΣΗ

Α) Στο αρχικό Σχήμα σχηματίζεται ένα ζεύγος όμοιων τριγώνων.

Είναι τα AK\Gamma και KB\Delta .

Τα τρίγωνα αυτά είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες τους μία προς μία ίσες. Εδώ μας αρκούν οι δύο γωνίες :

{{\widehat{K}}_{1}}={{\widehat{K}}_{2}} ως κατά κορυφήν. Και

\widehat{KA\Gamma }=\widehat{B\Delta K} ως εντός εναλλάξ των παράλληλων στυλών AE,B\Delta με την τέμνουσα A\Delta
19020  -2.png
19020 -2.png (8.34 KiB) Προβλήθηκε 3660 φορές
Β)



Γ) Καταρχήν πρέπει να πούμε ότι αφού οι στύλοι είναι κατακόρυφοι, οι γωνίες \widehat{A}=\widehat{B}={{90}^{0}} .

Αν φέρουμε από το K κάθετη στην A\Gamma αυτή θα τέμνει κάθετα και την παράλληλή της B\Delta.

Έτσι το ABHZ είναι ορθογώνιο , καθώς έχει 4 ορθές γωνίες .

Συνεπώς AZ=BH .

Ακόμη η κάθετη απόσταση του K από το έδαφος B\Gamma θα είναι ίση με τις AZ,BH αφού το \Kappa \Epsilon \Alpha \Zeta είναι επίσης ορθογώνιο.

Επομένως KE=AZ=BH=x

Τα τρίγωνα KZA,KH\Delta είναι όμοια αφού έχουν

\widehat{Z}=\widehat{H}={{90}^{0}}

\widehat{KA\Gamma }=\widehat{B\Delta K}

Άρα θα έχουν τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες

\displaystyle{\frac{AZ}{\Delta Z}=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{x}{3-x}=\frac{AK}{\Delta K}} (1)

Όμως από στο α ερώτημα δείξαμε ότι AK\Gamma και KB\Delta είναι επίσης όμοια.

Συνεπώς \frac{A\Gamma }{B\Delta }=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{2}{3}=\frac{AK}{\Delta K} ( 2 )

Από (1) και ( 2) έχουμε \displaystyle{\frac{x}{3-x}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow 3x=2\left( 3-x \right)\Leftrightarrow 3x=6-2x}

\displaystyle{\Leftrightarrow 5x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}}

Δείξαμε δηλαδή ότι KE=\frac{6}{5}=1,2 μέτρα , ανεξάρτητα από την απόσταση των δύο στύλων.

(Δεν χρησιμοποιήσαμε πουθενά το στοιχείο AB=10 )

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 12, 2014 7:44 am
από KARKAR
19020.png
19020.png (5.38 KiB) Προβλήθηκε 3624 φορές
Είναι \displaystyle \frac{x}{3}=\frac{k}{k+m} , \frac{x}{2}=\frac{m}{k+m} και προσθέτοντας :

\displaystyle \frac{x}{3}+ \frac{x}{2}=1\Leftrightarrow \frac{5x}{6}=1\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 12, 2014 8:10 am
από swsto
Οι εκφωνήσεις του 4ου θέμοτος σε word

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 12, 2014 1:51 pm
από pap65
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΤΟ
ΘΕΜΑ 4_19020



Γενικά αν οι δύο στύλοι έχουν μήκος \alpha και \beta ( σχήμα )


[attachment=1]19020 -2 - Αντίγραφο.png[/attachment]

από τα ζεύγη των όμοιων τριγώνων

KZA,KH\Delta και AK\Gamma, KB\Delta

Όπως αποδείχθηκαν παραπάνω προκύπτουν οι αναλογίες :

\displaystyle{\frac{AZ}{\Delta Z}=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{x}{\beta -x}=\frac{AK}{\Delta K}} (1)

\frac{A\Gamma }{B\Delta }=\frac{AK}{\Delta K}\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{AK}{\Delta K} ( 2 )

Από (1) και ( 2) έχουμε

\displaystyle{\frac{x}{\beta -x}=\frac{\alpha }{\beta }\Leftrightarrow \beta x=\alpha \left( \beta -x \right)\Leftrightarrow \beta x=\alpha \beta -\alpha x}

\displaystyle{\Leftrightarrow \left( \alpha +\beta  \right)x=\alpha \beta \Leftrightarrow x=\frac{\alpha \beta }{\alpha +\beta }}



Επομένως η ζητούμενη απόσταση είναι σταθερή και εξαρτάται

απο τις διαστάσεις των δύο στύλων και όχι από την μεταξύ τους απόσταση.

Όμως το πρόβλημα με το β ερώτημα παραμένει.

Αν ένας μαθητής απαντήσει απευθείας στο γ ερώτημα , τι γίνεται;

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 12, 2014 9:26 pm
από KARKAR
Το θέμα αυτό είναι το διάσημο πρόβλημα "Crossed Ladders " , δείτε π.χ. εδώ

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 16, 2014 1:01 pm
από xr.tsif
Η πρώτη ανάρτηση του 4ου θέματος.
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=752

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 16, 2014 5:20 pm
από pap65
Υποβάλλω ξανά ( και σε WORD ) την ωραία εναλλακτική λύση του KARKAR
για το Θέμα 19020.

Σε μια επόμενη έκδοση του Χρήστου Τσιφάκη θα μπορούσε να ενσωματωθεί



ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ

[attachment=1]19020 -2 - ΑΛΛΗ ΛΥΣΗ.png[/attachment]

Φέρνω KE\bot AB. Επομένως KE//A\Gamma //B\Delta.

Τα τρίγωνα AB\Gamma και KEB είναι όμοια αφού έχουν τουλάχιστον δύο γωνίες ίσες

( \widehat{A}=\widehat{E} και \widehat{B} κοινή )

Επομένως παίρνουμε την αναλογία : \frac{KE}{A\Gamma }=\frac{EB}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{2}=\frac{EB}{AB}\quad \left( 1 \right)

Με τον ίδιο τρόπο, από τα όμοια τρίγωνα AB\Delta και KEA

παίρνουμε την αναλογία : \frac{KE}{\Delta B}=\frac{AE}{AB}\Leftrightarrow \frac{x}{3}=\frac{AE}{AB}\quad \left( 2 \right)

Προσθέτοντας τις σχέσεις ( 1) και ( 2) παίρνουμε:

\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{AE}{AB}+\frac{EB}{AB}\Leftrightarrow \quad \frac{x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{AB}{AB}=1

\Leftrightarrow \quad 3x+2x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{5}=1,2

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 16, 2014 8:51 pm
από xr.tsif
ανεβάζω το νέο αρχείο

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Νοέμ 16, 2014 10:27 pm
από denTsoyk
Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του :logo:
Έχω βρει μια ασάφεια στο θέμα 19016. Στο πού θα μπούνε τα σημεία Δ και Ε. Σύμφωνα με την εκφώνηση, το γ ερώτημα θα μπορούσε να είχε θετική απάντηση, ενώ από το σχήμα όχι. Πιθανόν κάποιο σφάλμα στην εκφώνηση.
Τέλος να πω και εγώ μια γνώμη για το θέμα 19020. Ίσως το β ερώτημα να είναι για να πάρουν κανένα βαθμό και οι πιο αδύνατοι μαθητές. Γιατί λύνεται με μια απλή αναλογία. Οι καλοί μαθητές θα λύσουν και το β ερώτημα και το γ.
ΥΓ: Πολύ καλή δουλειά από όλους!!!

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Νοέμ 17, 2014 10:39 am
από Antonis_A
Συγνώμη αλλά το θέμα 19020, έχει "πρόβλημα" και στο α) ερώτημα. Το αρχικό σχήμα δεν έχει γράμμα σε όλες τις κορυφές. Πρώτο ατόπημα, εντελώς εκτός πνεύματος. Που έχουμε ξαναδεί (πόσο μάλλον ο μαθητής...) να δίνεται σχήμα στο οποίο ο μαθητής πρέπει να ονοματίσει τις κορυφές. Μικρό το κακό θα μου πείτε και θα συμφωνίσω. Όμως υπάρχει κάποιος λόγος που δεν δίνονται όλες οι κορυφές; Προκαλεί άσκοπη σύγχηση χωρίς να παράγει τίποτα ουσιαστικό. Το δεύτερο κομμάτι που βλέπω "εκτός πνεύματος" είναι η διατύπωση του ερωτήματος. Χρειάζεται να δικαιολογηθεί ότι τα τρίγωνα ΚΑΓ, ΚΒΔ είναι όμοια, όπως βλέπουμε στις απαντήσεις που δόθηκαν εδώ. Πρέπει όμως πρώτα ο λύτης να περάσει απο την περιπέτεια του να δεί ότι τα 5 σχηματισμένα τρίγωνα δίνουν 10 πιθανά ζεύγη για σύγκριση. Για κάθε ζεύγος χρειάζεται να σκεφτεί αν είναι ή δεν είναι όμοια. Για κάποια απο τα ζεύγη δεν είναι προφανής η αιτολόγηση -και διατύπωση- ότι δεν είναι όμοια. Η άσκηση μπορεί να είναι καλή για κάποιο διαγωνισμό (γυμνασίου;) αλλά δεν νομίζω ότι είναι κατάλληλη (υπο αυτή την διατύπωση) για εξετάσεις.

Φυσικά τίθεται το θέμα ότι ένας μαθητής που θα συγκρίνει τα δύο σωστά τρίγωνα και θα τα βρεί όμοια, θα βαθμολογηθεί το ίδιο με τον μαθητή που θα δικαιολογήσει και όλους τους υπόλοιπους συνδιασμούς.
Είναι πλήρης απάντηση του ερωτήματος αν δοθεί μόνο το ζεύγος των ομοίων;

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 19, 2014 5:21 am
από ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ
Καλημέρα. Κοιτάζοντας τις ασκήσεις του 4ου θέματος, βρήκα την 4-18985 η οποία έχει μία κακώς διατυπωμένη εκφώνηση. Λύνοντάς την στην τάξη για να τονίσω το λάθος, είδα ότι οι μαθητές δεν καταλάβαιναν, βεβαίως, τι ακριβώς ήθελε να εξετάσεικαι. Στο συννημένο Έχω την δυσαρμονία της και την πρόταση αλλαγής

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:14 am
από xrysa1988
Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 19, 2014 11:34 am
από Γιώργος Ρίζος
xrysa1988 έγραψε:Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?
Αγαπητή Χρύσα, τα ύψη θα μπορούσαν να τέμνονται και εξωτερικά.

Το ότι η γωνία A είναι οξεία προκύπτει από τη συνθήκη του δεύτερου ερωτήματος.

Πάντως, νομίζω ότι το ερώτημα αυτό θα έπρεπε να προηγείται, ώστε κατόπιν η μελέτη να γίνει σε οξυγώνιο.

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 19, 2014 11:42 am
από george visvikis
xrysa1988 έγραψε:Kαλημέρα! στο θέμα 19037 , στο β ερώτημα όπου ζητείται να αποδείξουμε οτι η γωνία Α είναι οξεία, αυτό δεν προκύπτει από το γεγονός ότι η Α είναι γωνία του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΕ , αρα δεν μπορεί να είναι κάτι άλλο παρά μόνο οξεία?
Καλημέρα!
Μόνο αν η γωνία A είναι οξεία, αλλιώς αν είναι αμβλεία τα ύψη τέμνονται έξω από το τρίγωνο ή αν είναι ορθή πάνω στην κορυφή A. Δες το παρακάτω σχήμα.
19037.png
19037.png (4.79 KiB) Προβλήθηκε 3169 φορές
Βλέπω ότι ήδη απάντησε ο Γιώργος Ρίζος, τον οποίο και καλημερίζω.

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Τετ Νοέμ 19, 2014 12:22 pm
από xr.tsif
ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Καλημέρα. Κοιτάζοντας τις ασκήσεις του 4ου θέματος, βρήκα την 4-18985 η οποία έχει μία κακώς διατυπωμένη εκφώνηση. Λύνοντάς την στην τάξη για να τονίσω το λάθος, είδα ότι οι μαθητές δεν καταλάβαιναν, βεβαίως, τι ακριβώς ήθελε να εξετάσεικαι. Στο συννημένο Έχω την δυσαρμονία της και την πρόταση αλλαγής

ΑΛΛΑΞΑ ΤΗΝ ΕΚΦΩΝΗΣΗ ΜΕ ΑΥΤΗΝ ΠΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΕΙ Ο ΓΙΩΡΓΟΣ
και περιμένουμε την απόφαση της επιτροπής

Re: 4o ΘΕΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Νοέμ 20, 2014 12:09 pm
από xrysa1988
Eυχαριστώ πολύ , έχετε δίκιο! είδα την εκφώνηση από εδώ και νόμιζα ότι το σχήμα ήταν στην εκφώνηση, γι αυτό απόρησα.