2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_2_20140
Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία
α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς
(Μονάδες 9)
β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό.
(Μονάδες 16)
ΛΥΣΗ
α)
β) Η έχει συντελεστή , επομένως η ως κάθετη στην
θα έχει συντελεστή και αφού διέρχεται από το θα έχει εξίσωση :
Το μήκος του ύψους είναι ίσο με την απόσταση
Είναι και
Επομένως
Δίνεται τρίγωνο με κορυφές τα σημεία
α) Να βρείτε την εξίσωση της πλευράς
(Μονάδες 9)
β) Να υπολογίσετε το μήκος του ύψους καθώς και την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκεται αυτό.
(Μονάδες 16)
ΛΥΣΗ
α)
β) Η έχει συντελεστή , επομένως η ως κάθετη στην
θα έχει συντελεστή και αφού διέρχεται από το θα έχει εξίσωση :
Το μήκος του ύψους είναι ίσο με την απόσταση
Είναι και
Επομένως
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_2_20140.docx
- (35.6 KiB) Μεταφορτώθηκε 159 φορές
τελευταία επεξεργασία από exdx σε Τρί Νοέμ 18, 2014 1:23 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλημέρα Γιώργο
Νομίζω ότι η 20140 είναι η GI_V_MATHP_2_20067 με μία διόρθωση στην εκφώνηση .
Αθ. Μπεληγιάννης
Νομίζω ότι η 20140 είναι η GI_V_MATHP_2_20067 με μία διόρθωση στην εκφώνηση .
Αθ. Μπεληγιάννης
Never stop learning , because life never stops teaching.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Ετομάζω την 2_20148
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
[size=150]ΘΕΜΑ 2_20148[/size]
Δίνονται τα διανύσματα , και
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά ανά δύο .
(Μονάδες 10)
β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και .
(Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Είναι , και
Επομένως θα έχουν συντελεστές διεύθυνσης :
, και αντίστοιχα.
Αφού οι συντελεστές διεύθυνσης ανά δύο διαφορετικοί
τότε τα διανύσματα ανά δύο .
β) Θέλουμε να γράψουμε το διάνυσμα στη μορφή:
με
Επομένως
και
(1 ) και ( 2)
Από τις σχέσεις (1 ) και (2 ) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει :
και με αντικατάσταση
Άρα .
Δίνονται τα διανύσματα , και
α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα είναι μη συγγραμμικά ανά δύο .
(Μονάδες 10)
β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και .
(Μονάδες 15)
ΛΥΣΗ
α) Είναι , και
Επομένως θα έχουν συντελεστές διεύθυνσης :
, και αντίστοιχα.
Αφού οι συντελεστές διεύθυνσης ανά δύο διαφορετικοί
τότε τα διανύσματα ανά δύο .
β) Θέλουμε να γράψουμε το διάνυσμα στη μορφή:
με
Επομένως
και
(1 ) και ( 2)
Από τις σχέσεις (1 ) και (2 ) με πρόσθεση κατά μέλη προκύπτει :
και με αντικατάσταση
Άρα .
- Συνημμένα
-
- 2_20148.docx
- (48.49 KiB) Μεταφορτώθηκε 155 φορές
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Ας κρατήσουμε την 2_18556 για τον Σωτήρηswsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα
Είναι σχεδόν έτοιμο το δελτίο με τις λύσεις.
Περιμένουμε τυχόν διορθώσεις, συμπληρώσεις, άλλες λύσεις από όποιον φίλο θα ήθελε να προτείνει κάτι.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ENOEITAIΓιώργος Ρίζος έγραψε:Ας κρατήσουμε την 2_18556 για τον Σωτήρηswsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα
Είναι σχεδόν έτοιμο το δελτίο με τις λύσεις.
Περιμένουμε τυχόν διορθώσεις, συμπληρώσεις, άλλες λύσεις από όποιον φίλο θα ήθελε να προτείνει κάτι.
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ ΓΙΑ ΤΟ ΚΈΡΑΣΜΑ!!!!
Σωτήρης Στόγιας
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
18556 ΘΕΜΑ 2
Δίνονται τα διανύσματα και με και ,
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο
(Μονάδες 8)
β) Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.
(Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος
(Μονάδες 7)
α) Είναι
β)
.
γ) Είναι
Τότε είναι
Έχω κάποια θέματα με τη μορφοποίηση , θα το διορθωσω αργότερα . Στο doc είναι όλα εντάξει .
Δίνονται τα διανύσματα και με και ,
α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο
(Μονάδες 8)
β) Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ.
(Μονάδες 10)
γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος
(Μονάδες 7)
α) Είναι
β)
.
γ) Είναι
Τότε είναι
Έχω κάποια θέματα με τη μορφοποίηση , θα το διορθωσω αργότερα . Στο doc είναι όλα εντάξει .
- Συνημμένα
-
- 2_18556.docx
- (42.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 162 φορές
Σωτήρης Στόγιας
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Μία λύση ακόμα από τον Γιώργο Λέκκα για το 2_20061
Δίνεται παραλληλόγραμμο με τρείς κορυφές τα σημεία
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του . (Μονάδες 9)
α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των διαγωνίων
καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής . (Μονάδες 16)
ΛΥΣΗ
α) Το είναι παραλ/μο, οπότε θα είναι: .
Παρατηρώ (και στο σχήμα) ότι .
Επομένως Οπότε,
1) . Συνεπώς και,
2)
Επίσης:
β) Το σημείο είναι μέσον του επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι:
Για τις συντεταγμένες του τώρα
Έστω ε η ευθεία η οποία (από το α))είναι η
Έστω η ευθεία . Αφού , θα είναι της μορφής:
Είναι , οπότε η (1)διαμορφώνεται ως εξής:
.
Το λοιπόν θα βρεθεί ως τομή των ευθειών: και .
Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε: . Άρα
Δίνεται παραλληλόγραμμο με τρείς κορυφές τα σημεία
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του . (Μονάδες 9)
α) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των διαγωνίων
καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής . (Μονάδες 16)
ΛΥΣΗ
α) Το είναι παραλ/μο, οπότε θα είναι: .
Παρατηρώ (και στο σχήμα) ότι .
Επομένως Οπότε,
1) . Συνεπώς και,
2)
Επίσης:
β) Το σημείο είναι μέσον του επομένως οι συντεταγμένες του σημείου είναι:
Για τις συντεταγμένες του τώρα
Έστω ε η ευθεία η οποία (από το α))είναι η
Έστω η ευθεία . Αφού , θα είναι της μορφής:
Είναι , οπότε η (1)διαμορφώνεται ως εξής:
.
Το λοιπόν θα βρεθεί ως τομή των ευθειών: και .
Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε: . Άρα
-
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Με υπόδειξη του συναδέλφου κ. Δ.Κατούνη, ανεβάζω την ορθή απάντηση στο β) όπου είχε παραλειφθή ο συντελεστής 4 στο μέτρο του διανύσματος β και παρακαλώ τους συναδέλφους για την διόρθωσηΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ έγραψε:Ανεβάζω το ΘΕΜΑ 2 – 20056
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 2_20056.docx
- (32.1 KiB) Μεταφορτώθηκε 130 φορές
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22505
Δίνονται τα διανύσματα , και , για τα οποία ισχύουν:
και .
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα και ότι . (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α)
.
β)
Άρα τα διανύσματα , είναι παράλληλα κι επειδή είναι αντίρροπα.
.
Άρα και .
Δίνονται τα διανύσματα , και , για τα οποία ισχύουν:
και .
α) Να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα και ότι . (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α)
.
β)
Άρα τα διανύσματα , είναι παράλληλα κι επειδή είναι αντίρροπα.
.
Άρα και .
- Συνημμένα
-
- 2_22505.doc
- (62.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 128 φορές
Θοδωρής Καραμεσάλης
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Οι νέες ασκήσεις που δεν έχουν λυθεί: 2_22538 2_22537 2_22536 2_22534 2_22533 2_22532 2_22531 2_22530 2_22529 2_22527 2_22525 2_22524 2_22523 2_22522 2_22521 2_22520 2_22519 2_22518 2_22517 2_22516 2_22515 2_22514 2_22512 2_22511 2_22510 2_22509 2_22508 2_22507 2_22506
Θοδωρής Καραμεσάλης
-
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλημέρα σας. Αναρτώ την 2_22506.
Δεν θεωρώ όμως ότι ανήκει στα 2α θέματα λόγω των πράξεων με γράμματα και απόλυτες τιμές που εμπεριέχει.
Δεν θεωρώ όμως ότι ανήκει στα 2α θέματα λόγω των πράξεων με γράμματα και απόλυτες τιμές που εμπεριέχει.
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 2_22506.docx
- (91.98 KiB) Μεταφορτώθηκε 136 φορές
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22507
Δίνεται η εξίσωση : (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα . (Μονάδες 12)
β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Α΄ ΤΡΟΠΟΣ
Η εξίσωση (1) είναι της μορφής , με , και .
Ισχύει: . Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο
το σημείο , δηλαδή και ακτίνα .
Β΄ ΤΡΟΠΟΣ
(1)
Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής , με , και .
Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα .
β) Η ευθεία δεν εφάπτεται του κύκλου αφού διέρχεται από το κέντρο του.
Όλες οι άλλες ευθείες που διέρχονται από το έχουν εξίσωση της μορφής , .
Η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου αν και μόνο αν
ή .
Επομένως οι ευθείες και είναι οι ζητούμενες εφαπτομένες.
Δίνεται η εξίσωση : (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα . (Μονάδες 12)
β) Από τις ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων να προσδιορίσετε εκείνες που εφάπτονται του παραπάνω κύκλου. (Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Α΄ ΤΡΟΠΟΣ
Η εξίσωση (1) είναι της μορφής , με , και .
Ισχύει: . Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο
το σημείο , δηλαδή και ακτίνα .
Β΄ ΤΡΟΠΟΣ
(1)
Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής , με , και .
Άρα η εξίσωση (1) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο και ακτίνα .
β) Η ευθεία δεν εφάπτεται του κύκλου αφού διέρχεται από το κέντρο του.
Όλες οι άλλες ευθείες που διέρχονται από το έχουν εξίσωση της μορφής , .
Η ευθεία ε εφάπτεται του κύκλου αν και μόνο αν
ή .
Επομένως οι ευθείες και είναι οι ζητούμενες εφαπτομένες.
- Συνημμένα
-
- 2_22507.doc
- (100 KiB) Μεταφορτώθηκε 117 φορές
-
- 22507.png (20.83 KiB) Προβλήθηκε 5694 φορές
τελευταία επεξεργασία από asemarak σε Δευ Ιαν 26, 2015 6:41 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Θοδωρής Καραμεσάλης
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22508
Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε κύκλο που διέρχεται από το σημείο και έχει κέντρο το .
α) Να αποδείξετε ότι , και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και .
(Μονάδες 13)
β) Από τα σημεία του κύκλου να βρείτε τις συντεταγμένες:
i) του σημείου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 6)
ii) του σημείου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ:
α) Ο κύκλος αφού έχει κέντρο το , έχει εξίσωση
Αφού διέρχεται από το , οι συντεταγμένες του , επαληθεύουν την εξίσωσή του, οπότε
Άρα
Η ευθεία που διέρχεται από τα έχει συντελεστή διεύθυνσης και εξίσωση
β) Η τέμνει τον κύκλο στα σημεία με συντεταγμένες που είναι ζεύγη λύσεων του συστήματος
Αντικαθιστώντας την τιμή του στην πρώτη εξίσωση, έχουμε:
, που έχει ρίζες και
Οπότε τα σημεία τομής είναι τα , που απέχει τη μικρότερη απόσταση και το , που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από το .
ΣΧΟΛΙΟ: Δεν απαιτείται η απόδειξη της παραπάνω πρότασης, εφόσον τεκμηριώνεται με την πρόταση που αποδεικνύεται σε άσκηση του βιβλίου Ευκλείδειας Γεωμετρίας Α΄, Β΄ Λυκείου. (η 4 αποδεικτική, παρ 3.12, σελ. 58 ).
Πάντως, εδώ δίνουμε την απόδειξη της ανίσωσης στο παραπάνω θέμα:
Πράγματι, για τυχαίο σημείο του κύκλου, είναι, από την τριγωνική ανισότητα στο :
Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε κύκλο που διέρχεται από το σημείο και έχει κέντρο το .
α) Να αποδείξετε ότι , και έπειτα να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και .
(Μονάδες 13)
β) Από τα σημεία του κύκλου να βρείτε τις συντεταγμένες:
i) του σημείου που απέχει τη μικρότερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 6)
ii) του σημείου που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από την αρχή των αξόνων.
(Μονάδες 6)
ΛΥΣΗ:
α) Ο κύκλος αφού έχει κέντρο το , έχει εξίσωση
Αφού διέρχεται από το , οι συντεταγμένες του , επαληθεύουν την εξίσωσή του, οπότε
Άρα
Η ευθεία που διέρχεται από τα έχει συντελεστή διεύθυνσης και εξίσωση
β) Η τέμνει τον κύκλο στα σημεία με συντεταγμένες που είναι ζεύγη λύσεων του συστήματος
Αντικαθιστώντας την τιμή του στην πρώτη εξίσωση, έχουμε:
, που έχει ρίζες και
Οπότε τα σημεία τομής είναι τα , που απέχει τη μικρότερη απόσταση και το , που απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση από το .
ΣΧΟΛΙΟ: Δεν απαιτείται η απόδειξη της παραπάνω πρότασης, εφόσον τεκμηριώνεται με την πρόταση που αποδεικνύεται σε άσκηση του βιβλίου Ευκλείδειας Γεωμετρίας Α΄, Β΄ Λυκείου. (η 4 αποδεικτική, παρ 3.12, σελ. 58 ).
Πάντως, εδώ δίνουμε την απόδειξη της ανίσωσης στο παραπάνω θέμα:
Πράγματι, για τυχαίο σημείο του κύκλου, είναι, από την τριγωνική ανισότητα στο :
- Συνημμένα
-
- 2_22508.doc
- (64.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 123 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Τρί Ιαν 27, 2015 9:05 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22509
Δίνονται οι ελλείψεις και
α) Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις και έχουν την ίδια εκκεντρότητα. (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων και ανήκουν στον κύκλο (Μονάδες 13)
Λύση
α) Οι εξισώσεις των και ισοδύναμα γίνονται:
και
Και οι δύο ελλείψεις έχουν: και
Έτσι
Άρα οι και έχουν την ίδια εκκεντρότητα
β) Αν είναι κοινό σημείο των και τότε:
Άρα τα σημεία τομής των ελλείψεων και ανήκουν στον κύκλο
Δίνονται οι ελλείψεις και
α) Να αποδείξετε ότι οι ελλείψεις και έχουν την ίδια εκκεντρότητα. (Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία τομής των ελλείψεων και ανήκουν στον κύκλο (Μονάδες 13)
Λύση
α) Οι εξισώσεις των και ισοδύναμα γίνονται:
και
Και οι δύο ελλείψεις έχουν: και
Έτσι
Άρα οι και έχουν την ίδια εκκεντρότητα
β) Αν είναι κοινό σημείο των και τότε:
Άρα τα σημεία τομής των ελλείψεων και ανήκουν στον κύκλο
- Συνημμένα
-
- 2-22509.docx
- (71.64 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές
-
- 2-22509.png (25.83 KiB) Προβλήθηκε 5652 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22510
Δίνονται ο κύκλος η έλλειψη
και η κατακόρυφη ευθεία
Αν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο και την έλλειψη αντίστοιχα, τότε:
α) να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ . (Μονάδες 11)
β) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου στο σημείο του Γ και της έλλειψης στο σημείο της Δ , καθώς και το σημείο τομής των εφαπτομένων αυτών. (Μονάδες 14)
ΛΥΣΗ
α) Για τις συντεταγμένες των Γ και Δ, αφού είναι σημεία του πρώτου τεταρτημορίου ισχύουν:
Για η εξίσωση δίνει , επομένως , άρα
Για η εξίσωση δίνει , επομένως , άρα
β) η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του έχει εξίσωση:
H εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της έχει εξίσωση:
Το ζεύγος των συντεταγμένων του κοινού σημείου των δύο εφαπτόμενων είναι λύση του συστήματος :
Επομένως το ζητούμενο κοινό σημείο είναι το
Δίνονται ο κύκλος η έλλειψη
και η κατακόρυφη ευθεία
Αν Γ και Δ είναι τα σημεία του πρώτου τεταρτημορίου στα οποία η ευθεία ε τέμνει τον κύκλο και την έλλειψη αντίστοιχα, τότε:
α) να βρείτε τις συντεταγμένες των Γ και Δ . (Μονάδες 11)
β) να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου στο σημείο του Γ και της έλλειψης στο σημείο της Δ , καθώς και το σημείο τομής των εφαπτομένων αυτών. (Μονάδες 14)
ΛΥΣΗ
α) Για τις συντεταγμένες των Γ και Δ, αφού είναι σημεία του πρώτου τεταρτημορίου ισχύουν:
Για η εξίσωση δίνει , επομένως , άρα
Για η εξίσωση δίνει , επομένως , άρα
β) η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο του έχει εξίσωση:
H εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο της έχει εξίσωση:
Το ζεύγος των συντεταγμένων του κοινού σημείου των δύο εφαπτόμενων είναι λύση του συστήματος :
Επομένως το ζητούμενο κοινό σημείο είναι το
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13276
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Άσκηση 2_22511
Θεωρούμε την παραβολή και την κατακόρυφη ευθεία , όπου είναι η παράμετρος της παραβολής .
α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. (Μονάδες 10)
β) Αν η ευθεία τέμνει την παραβολή στα σημεία της και , τότε:
i) να βρείτε τις συντεταγμένες των και , καθώς και τις εξισώσεις των εφαπτομένων και της παραβολής στα σημεία της αυτά αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
ii) να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των και ανήκει στη διευθετούσα της . (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Είναι , άρα η εστία είναι και η διευθετούσα
β)i) Για , έχουμε , άρα τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει την είναι και .
H εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της έχει εξίσωση . Άρα έχουμε:
και
ii) Για το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών έχουμε και , οπότε τέμνονται στο σημείο , που ανήκει στη διευθετούσα.
Όλα τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στο σχήμα.
Θεωρούμε την παραβολή και την κατακόρυφη ευθεία , όπου είναι η παράμετρος της παραβολής .
α) Να βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής. (Μονάδες 10)
β) Αν η ευθεία τέμνει την παραβολή στα σημεία της και , τότε:
i) να βρείτε τις συντεταγμένες των και , καθώς και τις εξισώσεις των εφαπτομένων και της παραβολής στα σημεία της αυτά αντίστοιχα. (Μονάδες 10)
ii) να αποδείξετε ότι το σημείο τομής των και ανήκει στη διευθετούσα της . (Μονάδες 5)
Λύση:
α) Είναι , άρα η εστία είναι και η διευθετούσα
β)i) Για , έχουμε , άρα τα σημεία στα οποία η ευθεία τέμνει την είναι και .
H εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της έχει εξίσωση . Άρα έχουμε:
και
ii) Για το σημείο τομής των δύο αυτών ευθειών έχουμε και , οπότε τέμνονται στο σημείο , που ανήκει στη διευθετούσα.
Όλα τα παραπάνω συμπεράσματα φαίνονται στο σχήμα.
- Συνημμένα
-
- MATHP_2_22511.docx
- (150.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 121 φορές
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
2_22512
Δίνεται η εξίσωση: , (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παραβολές και .
Nα βρείτε για καθεμιά από αυτές την εστία και τη διευθετούσα της. (Μονάδες 13)
β) Αν είναι οι εστίες των παραβολών και αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ:
α) Η (1) γράφεται
Η παραβολή έχει και άξονα συμμετρίας τον , δηλαδή εστία και διευθετούσα
Η παραβολή έχει και άξονα συμμετρίας τον , δηλαδή εστία και διευθετούσα
β) Είναι με μέσο το , οπότε ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα έχει εξίσωση .
Δίνεται η εξίσωση: , (1)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παραβολές και .
Nα βρείτε για καθεμιά από αυτές την εστία και τη διευθετούσα της. (Μονάδες 13)
β) Αν είναι οι εστίες των παραβολών και αντίστοιχα, να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα (Μονάδες 12)
ΛΥΣΗ:
α) Η (1) γράφεται
Η παραβολή έχει και άξονα συμμετρίας τον , δηλαδή εστία και διευθετούσα
Η παραβολή έχει και άξονα συμμετρίας τον , δηλαδή εστία και διευθετούσα
β) Είναι με μέσο το , οπότε ο κύκλος με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα έχει εξίσωση .
- Συνημμένα
-
- 2_22512.doc
- (37 KiB) Μεταφορτώθηκε 125 φορές
-
- Δημοσιεύσεις: 95
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 17, 2013 8:15 am
Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΣΟΧΗ! Η εκφώνηση, προφανώς εκ παραδρομής, δίνει τις συντεταγμένες του Γ(11,12) ως Γ(1,12) .
Καλημέρα. Αναρτώ την άσκηση 2_22522. Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες