2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Στον παρόντα φάκελο μπορούν να γίνουν προσκλήσεις για συγγραφή ομαδικών εργασιών που αφορούν μαθηματικά από μέλη του mathematica.gr. Η θεματολογία μπορεί να ποικίλει ανάλογα με τα ενδιαφέροντα των συγγραφέων.
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr

α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε {\color{orange}\LaTeX} και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 10:01 pm

Ετοιμάζω την 2_20061


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
kathorad
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 16, 2014 2:48 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kathorad » Κυρ Νοέμ 16, 2014 10:42 pm

Kαλησπέρα σε όλους.
Είμαι ο asemarak και αντιμετωπίζω ένα πρόβλημα με τη σύνδεσή μου στο mathematica (από τότε που άλλαξα το δηλωμένο email μου). Έχω στείλει mail στο info@mathematica.gr, αλλά δε λύθηκε το πρόβλημα, ούτε πήρα απάντηση.
Μέχρι να λυθεί το πρόβλημά μου θα γράφω σαν kathorad (δημιούργησα άλλον λογαριασμό).

Ετοιμάζω την GI_V_MATHP_2_20055


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:09 pm

Ανεβάζω και τη λύση της άσκησης GI_V_MATHP_2_20068

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20068.docx
(53.17 KiB) Μεταφορτώθηκε 107 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Τετ Δεκ 17, 2014 3:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Never stop learning , because life never stops teaching.
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:30 pm

ΘΕΜΑ 2_20061


Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με τρεις κορυφές τα σημεία

\displaystyle{\Alpha \left( 1,1 \right)\text{ },\text{ }\Gamma \left( 4,3 \right)}

και
\displaystyle{\Delta \left( 2,3 \right)}
.
α) Να υπολογίσετε τα μήκη των πλευρών του ΑΒΓΔ . (Μονάδες 9)

β) Να υπολογίσετε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Κ των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ , καθώς και τις συντεταγμένες της κορυφής Β. (Μονάδες 16)



ΛΥΣΗ

2_20061.png
2_20061.png (5.22 KiB) Προβλήθηκε 4004 φορές

α) Είναι \overrightarrow{A\Delta }=\left( 2-1,3-1 \right)=\left( 1,2 \right)

και
\displaystyle{\overrightarrow{\Delta \Gamma }=\left( 4-2,3-3 \right)=\left( 2,0 \right)}

Έτσι \left( B\Gamma  \right)=\left( A\Delta  \right)=\left| \overrightarrow{A\Delta } \right|=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}

και \left( AB \right)=\left( \Delta \Gamma  \right)=\left| \overrightarrow{\Delta \Gamma } \right|=\sqrt{{{2}^{2}}+{{0}^{2}}}=\sqrt{4}=2


β) Το σημείο Κ είναι μέσο του A\Gamma , επομένως οι συντεταγμένες του σημείου Κ είναι:

\displaystyle{K\left( \frac{{{x}_{A}}+{{x}_{\Gamma }}}{2},\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{\Gamma }}}{2} \right)} ,

άρα
\displaystyle{K\left( \frac{1+4}{2},\frac{1+3}{2} \right)=K\left( \frac{5}{2},2 \right)}

Έστω B\left( x,y \right), άρα

\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\left( x-1,y-1 \right)}

Είναι
\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }\Leftrightarrow \left( x-1,y-1 \right)=\left( 2,0 \right)\Leftrightarrow x-1=2}


\displaystyle{\Leftrightarrow x-1=2}

και y-1=0
\displaystyle{\Leftrightarrow x=3}

και y=1

Επομένως B\left( 3,1 \right)

και
\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }}

Ισχύει
\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{\Delta \Gamma }}
Συνημμένα
2_20061.docx
(71.2 KiB) Μεταφορτώθηκε 116 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:31 pm

Ανεβάζω και τη λύση της άσκησης GI_V_MATHP_2_20067 έχοντας διορθώσει λίγο την εκφώνηση . Νομίζω ότι πρόκειται για τυπογραφικό .

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20067.docx
(41.42 KiB) Μεταφορτώθηκε 138 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
kathorad
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Κυρ Νοέμ 16, 2014 2:48 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kathorad » Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:39 pm

GI_V_MATHP_2_20055

Θεωρούμε τα σημεία Α(α+1, 3), Β(α, 4) και Γ(-4, 5α+4), \alpha \in \mathbb{R}.

α) Να βρείτε τα διανύσματα \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{B\Gamma }. (Μονάδες 8)

β) Να βρείτε για ποια τιμή του α, τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. (Μονάδες 10)

γ) Αν α=1, να βρείτε αριθμό λ ώστε \overrightarrow{A\Gamma }= \lambda \overrightarrow{AB}. (Μονάδες 7)

ΛΥΣΗ

α) \overrightarrow{AB}=\left ( x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A} \right )=\left ( \alpha -\alpha -1,4-3 \right )=\left ( -1,1 \right ) και

\overrightarrow{B\Gamma }=\left ( x_{\Gamma }-x_{B},y_{\Gamma }-y_{B} \right )=\left ( -4 -\alpha ,5\alpha +4-4 \right )=\left ( -4 -\alpha ,5\alpha \right ).

β) Τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά αν και μόνο αν \overrightarrow{AB}//\overrightarrow{B\Gamma }\Leftrightarrow  det\left ( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{B\Gamma } \right )=0\Leftrightarrow \begin{vmatrix} 
-1 &1 \\  
 -4-\alpha & 5\alpha   
\end{vmatrix}=0

\Leftrightarrow -5\alpha -\left ( -4-\alpha  \right )=0 \Leftrightarrow -4\alpha +4=0\Leftrightarrow \alpha =1.

γ) Για α=1 είναι Α(2, 3), Β(1, 4) και Γ(-4, 9).

Άρα \overrightarrow{A\Gamma }=(x_{\Gamma}-x_{A},y_{\Gamma}-y_{A})= \left ( -4-2,9-3 \right )=\left ( -6,6 \right ).

Έτσι έχουμε: \overrightarrow{A\Gamma }= \lambda \overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \left ( -6,6 \right )=\lambda \left ( -1,1 \right )\Leftrightarrow \left \left ( -6,6 \right )=( -\lambda ,\lambda  \right )

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 
-6=-\lambda \\ 6=\lambda  
 
\end{matrix}\right\Leftrightarrow \lambda =6.
Συνημμένα
20055.doc
(44 KiB) Μεταφορτώθηκε 112 φορές
τελευταία επεξεργασία από kathorad σε Δευ Νοέμ 17, 2014 12:48 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Κυρ Νοέμ 16, 2014 11:56 pm

Στο συνημμένο η λύση της GI_V_MATHP_2_20066 .

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20066.docx
(48.14 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Δευ Νοέμ 17, 2014 12:05 am

ετοιμάζω την 2_20054
ΚΟΥΡΑΓΙΟ 4 ΕΜΕΙΝΑΝ


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Δευ Νοέμ 17, 2014 12:18 am

Και η λύση της GI_V_MATHP_2_20065 (τελευταία για απόψε ).

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20065.docx
(53.35 KiB) Μεταφορτώθηκε 155 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Δευ Νοέμ 17, 2014 12:47 am

ΘΕΜΑ 2_20054

Θεωρούμε τα σημεία \displaystyle{P,\Lambda ,K} και M του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση

\displaystyle{5\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}}

α) Να αποδείξετε ότι τα σημεία K,\Lambda και M είναι συνευθειακά.

(Μονάδες 10)
β) Για τα παραπάνω σημεία K,\Lambda και M να δείξετε ότι ισχύει:

\displaystyle{2\overrightarrow{A\Lambda }+3\overrightarrow{B\Lambda }+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BK}}

όπου A και B είναι σημεία του επιπέδου.
(Μονάδες 15)

ΛΥΣΗ

α) Ισχύει: \displaystyle{5\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }+3\overrightarrow{P\Lambda }=2\overrightarrow{PK}\text{ }+3\overrightarrow{PM}}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }-2\overrightarrow{PK}=3\overrightarrow{PM}-3\overrightarrow{P\Lambda }\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PK} \right)=3\left( \overrightarrow{PM}-\overrightarrow{P\Lambda } \right)}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{K\Lambda }=3\overrightarrow{\Lambda M}\Leftrightarrow \overrightarrow{K\Lambda }=\frac{3}{2}\overrightarrow{\Lambda M}}

Επομένως \displaystyle{\overrightarrow{K\Lambda }//\overrightarrow{\Lambda M}} . Επιπλέον έχουν ένα κοινό σημείο το \Lambda .

Άρα τα σημεία K,\Lambda και M είναι συνευθειακά.

β) Αν P σημείο αναφοράς τότε

\displaystyle{2\overrightarrow{A\Lambda }+3\overrightarrow{B\Lambda }+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BK}\quad \left( 1 \right)}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PA} \right)+3\left( \overrightarrow{P\Lambda }-\overrightarrow{PB} \right)+2\left( \overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PM} \right)=\overrightarrow{PK}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PK}-\overrightarrow{PB}}

\displaystyle{\Leftrightarrow 2\overrightarrow{P\Lambda }-2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{P\Lambda }-3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PB}-2\overrightarrow{PM}-\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PK}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}}


\displaystyle{\Leftrightarrow 5\overrightarrow{P\Lambda }-3\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{0}}

\displaystyle{\Leftrightarrow 5\overrightarrow{P\Lambda }=3\overrightarrow{PM}+2\overrightarrow{PK}} που ισχύει .

Επομένως ισχύει και η αρχική σχέση \left( 1 \right) .

ΚΑΛΗΝΥΧΤΑ!! :geek:

ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063
2_20073[/b
]
Συνημμένα
2_20054.docx
(47.82 KiB) Μεταφορτώθηκε 124 φορές


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
mathfinder
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathfinder » Δευ Νοέμ 17, 2014 1:04 am

Στο συνημμένο η GI_V_MATHP_2_20073 (αν και ξεκίνησα αντίστροφα τη λίστα , την είχα ξεχάσει)

Αθ. Μπεληγιάννης
Συνημμένα
GI_V_MATHP_2_20073.docx
(48.81 KiB) Μεταφορτώθηκε 189 φορές


Never stop learning , because life never stops teaching.
Άβαταρ μέλους
swsto
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 385
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:43 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από swsto » Δευ Νοέμ 17, 2014 1:31 am

Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα :roll:


Σωτήρης Στόγιας
pap65
Δημοσιεύσεις: 102
Εγγραφή: Παρ Δεκ 14, 2012 11:27 pm
Τοποθεσία: ΞΑΝΘΗ

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pap65 » Δευ Νοέμ 17, 2014 2:36 am

swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα :roll:
ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063


ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Νοέμ 17, 2014 9:29 am

GI_V_MATHP_2_20062

Δίνονται τα σημεία \displaystyle{A(1,-2),~B(2,3)}.

α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας \displaystyle{\epsilon} που διέρχεται από τα \displaystyle{A,B}.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου \displaystyle{OK\Lambda}, όπου \displaystyle{O} είναι η αρχή των αξόνων και \displaystyle{K,\Lambda}

είναι τα σημεία τομής της ευθείας με τους άξονες \displaystyle{x'x,~y'y} αντίστοιχα.

Λύση

α) Αφού \displaystyle{x_A\ne x_B}, ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για το \displaystyle{AB} και είναι ίσος με \displaystyle{\lambda=\frac{3-(-2)}{2-1}=5}.

Η ευθεία διέρχεται από το \displaystyle{B} άρα θα έχει εξίσωση : \displaystyle{(\epsilon):y-3=5(x-2)\Leftrightarrow y=5x-7}

β) Για \displaystyle{x=0} έχουμε \displaystyle{y=-7} και για \displaystyle{y=0} έχουμε \displaystyle{x=\frac{7}{5}} άρα \displaystyle{K\left(\frac{7}{5},0\right)} και \displaystyle{\Lambda(0,-7)}.

To εμβαδόν επομένως είναι \displaystyle{(OK\Lambda)=\frac{1}{2}\cdot \frac{7}{5}\cdot 7=\frac{49}{10}~\tau .\mu .}
Συνημμένα
20062.png
20062.png (7.79 KiB) Προβλήθηκε 3916 φορές
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Απόκης σε Δευ Νοέμ 17, 2014 9:52 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Νοέμ 17, 2014 9:32 am

GI_V_MATHP_2_20063

Θεωρούμε το ευθύγραμμο τμήμα \displaystyle{AB} με μέσο \displaystyle{M} και \displaystyle{A(1,-2),~M(-2,5)}.

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου \displaystyle{B}.

β) Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου \displaystyle{\epsilon} του \displaystyle{AB} καθώς και τα κοινά της σημεία με τους άξονες.

Λύση

α) Αν \displaystyle{B(x,y)} τότε ισχύουν \displaystyle{\begin{cases} \frac{x+1}{2}=-2\\\frac{y-2}{2}=5 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=-4\\y-2=10 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x=-5\\y=12 \end{cases}} άρα \displaystyle{B(-5,12)}.

β) Για το \displaystyle{AB} ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης \displaystyle{\lambda_{AB}=\frac{12-(-2)}{-5-1}=-\frac{7}{3}} άρα η κάθετη θα έχει

\displaystyle{\lambda=\frac{3}{7}} και αφού διέρχεται από το \displaystyle{M} θα έχει εξίσωση \displaystyle{(\epsilon):y-5=\frac{3}{7}(x+2)\Leftrightarrow y=\frac{3}{7}x+\frac{41}{7}}.

Για \displaystyle{x=0} έχουμε \displaystyle{y=\frac{41}{7}} και για \displaystyle{y=0} έχουμε \displaystyle{x=-\frac{41}{3}} άρα \displaystyle{C\left(0,\frac{41}{7}\right)} και \displaystyle{D\left(-\frac{41}{3},0\right)}.
Συνημμένα
20063.png
20063.png (15.93 KiB) Προβλήθηκε 3903 φορές


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
swsto
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 385
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 11:43 pm

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από swsto » Δευ Νοέμ 17, 2014 11:25 am

pap65 έγραψε:
swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα :roll:
ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063

Τα ετοίμασα αλλά με πρόλαβαν . Δεν έχω να προσθέσω κάτι διαφορετικό .


Σωτήρης Στόγιας
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5092
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Απόκης » Δευ Νοέμ 17, 2014 1:04 pm

swsto έγραψε:
pap65 έγραψε:
swsto έγραψε:Τι έμεινε να κάνω και εγώ τίποτα :roll:
ΕΜΕΙΝΑΝ : 2-20062
2_20063

Τα ετοίμασα αλλά με πρόλαβαν . Δεν έχω να προσθέσω κάτι διαφορετικό .
Σωτήρη καλημέρα. Δεν είχα δει το σχόλιό σου το πρωί... :)


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4364
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Νοέμ 17, 2014 2:20 pm

Στους αγαπητούς φίλους που "ξεπέταξαν' τα θέματα σε dt ένα θερμό ευχαριστώ για τη άμεση ανταπόκριση στο κάλεμα του :logo:

Στους φίλους που δεν πρόλαβαν (κι εγώ ανάμεσά τους...) προτείνω να ανοίξουμε λίστα αναμονής για τα επόμενα θέματα (όταν αναρτηθούν...). :lol:

Θα επεξεργαστούμε το ταχύτερο τις λύσεις και θα αναρτήσουμε το δελτίο με τα θέματα συγκεντρωμένα.

Πάντως, αν υπάρχουν (διαφορετικές) λύσεις, διορθώσεις, συμπληρώσεις, παρακαλώ αναρτήστέ τις το ταχύτερο δυνατό.


perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τρί Νοέμ 18, 2014 11:22 am

Προστέθηκαν και άλλα θέματα.


Παντούλας Περικλής
perpant
Δημοσιεύσεις: 451
Εγγραφή: Πέμ Αύγ 11, 2011 2:09 am
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: 2o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από perpant » Τρί Νοέμ 18, 2014 11:40 am

Αυτό αν είδα καλά, δεν υπάρχει στα παραπάνω λυμένα.
GI_V_MATHP_2_20070
Έστω \displaystyle{\overrightarrow \alpha  } και \displaystyle{\overrightarrow \beta  } δύο διανύσματα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν
\displaystyle{3\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| + \left| {\overrightarrow \beta  } \right| = 9}, \displaystyle{2\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| - \left| {\overrightarrow \beta  } \right| = 1} και \displaystyle{\left( {\widehat {\mathop \alpha \limits^ \to  ,\,\mathop \beta \limits^ \to  }} \right) = \frac{\pi }{3}}.
α) Να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων \displaystyle{\overrightarrow \alpha  } και \displaystyle{\overrightarrow \beta  } και το εσωτερικό γινόμενο \displaystyle{\overrightarrow \alpha   \cdot \overrightarrow \beta  }.
(Μονάδες 12)
β) Να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος \displaystyle{\overrightarrow u  = 2\overrightarrow \alpha   - 3\overrightarrow \beta  }.
(Μονάδες 13)
Λύση
α) Έστω \displaystyle{3\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| + \left| {\overrightarrow \beta  } \right| = 9\,\,\,\left( 1 \right)} και \displaystyle{2\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| - \left| {\overrightarrow \beta  } \right| = 1\,\,\,\left( 2 \right)} οι δοθείσες σχέσεις. Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: \displaystyle{5\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = 10 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = 2} και από την \displaystyle{\left( 1 \right)} για \displaystyle{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right| = 2} βρίσκουμε \displaystyle{\left| {\overrightarrow \beta  } \right| = 3}.
Επιπλέον από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:
\displaystyle{\overrightarrow \alpha   \cdot \overrightarrow \beta   = \left| {\overrightarrow \alpha  } \right|\left| {\overrightarrow \beta  } \right|\sigma \upsilon \nu \left( {\widehat {\mathop \alpha \limits^ \to  ,\,\mathop \beta \limits^ \to  }} \right) = \left| {\overrightarrow \alpha  } \right|\left| {\overrightarrow \beta  } \right|\sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3}
β) Αρχικά θα υπολογίσουμε το τετράγωνο του μέτρου για το διάνυσμα \displaystyle{\overrightarrow u }. Έχουμε:
\displaystyle{\begin{array}{l} 
\overrightarrow u  = 2\overrightarrow \alpha   - 3\overrightarrow \beta   \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {2\overrightarrow \alpha   - 3\overrightarrow \beta  } \right| \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\left| {2\overrightarrow \alpha   - 3\overrightarrow \beta  } \right|^2} \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = {\left( {2\overrightarrow \alpha   - 3\overrightarrow \beta  } \right)^2} \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4{\overrightarrow \alpha  ^2} - 12\widehat \alpha \overrightarrow \beta   + 9{\overrightarrow \beta  ^2} \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4{\left| {\overrightarrow \alpha  } \right|^2} - 12\widehat \alpha \overrightarrow \beta   + 9{\left| {\overrightarrow \beta  } \right|^2} \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 4 \cdot {2^2} - 12 \cdot 3 + 9 \cdot {3^2} \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} = 61 \Rightarrow \\ 
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {61}  
\end{array}}


Παντούλας Περικλής
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΟΜΑΔΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΕΛΩΝ ΤΟΥ MATHEMATICA.GR”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης