4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Κανόνες Δ. Συζήτησης
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
Συνοπτικοί κανόνες για την ομαδική συγγραφή εργασιών μέσα στους χώρους του mathematica.gr
α) Κάθε πρόσκληση για ομαδική εργασία γίνεται στον παρόντα φάκελο.
β) Ένα μέλος του mathematica.gr ορίζεται ως συντονιστής της έκδοσης της εργασίας, είναι ο υπεύθυνος της έκδοσης και ορίζει τις αρμοδιότητες των υπολοίπων μελών. Αυτό μπορεί να γίνει και σε συνεννόηση με άλλα μέλη. Ο συντονιστής της έκδοσης έρχεται σε επαφή με το συμβούλιο των συντονιστών του mathematica.gr και απευθύνεται σε αυτό για οποιοδήποτε απορία/πρόβλημα προκύψει.
γ) Οι λύσεις όλων των θεμάτων γράφονται σε και προαιρετικά μπορεί η δημοσίεση να περιλαμβάνει τη λύση γραμμένη και σε Mathtype.
δ) Στο τέλος αναρτάται ΜΟΝΟ σε μορφή .pdf η έκδοση.
ε) Περιέχεται σε κάθε σελίδα και στο εξώφυλλο το λογότυπο του mathematica.gr
στ) Στο εξώφυλλο αναφέρονται τα επώνυμα μέλη που βοήθησαν στην συγγραφή του δελτίου. Σε περίπτωση που ο αριθμός τους είναι μεγάλος τότε τα ονόματα αντί στο εξώφυλλο αναφέρονται σε ειδικό χώρο στο εσώφυλλο του Δελτίου.
ζ) Την τελική έγκριση του Δελτίου την έχουν οι συντονιστές του mathematica.gr
-
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 519
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 01, 2009 11:56 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στο συνημμένο η GI_V_MATHP_4_18613
Αθ. Μπεληγιάννης
Αθ. Μπεληγιάννης
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18613 .docx
- (54.79 KiB) Μεταφορτώθηκε 404 φορές
τελευταία επεξεργασία από mathfinder σε Κυρ Νοέμ 09, 2014 10:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Never stop learning , because life never stops teaching.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ 4ο - GI_V_MATHP_4_18614
Δίνονται οι ευθείες και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και
(Μονάδες 5)
β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο και η ευθεία
τέμνει τον άξονα στο σημείο , τότε:
iii) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και
(Μονάδες 5)
iv) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου
(Μονάδες 5)
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει
ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις.
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Λύνουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών :
Επομένως το σημείο τομής των ευθειών και είναι .
β) Για από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε , οπότε . Επίσης για από την δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε , δηλαδή .
i) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι :
ii) Επειδή , από το γνωστό τύπο βρίσκουμε :
γ) Είναι , οπότε :
Από αυτήν προκύπτει τελικά ότι :
και έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις δύο ευθειών : και ,
οι οποίες είναι όντως παράλληλες.
Δίνονται οι ευθείες και
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών και
(Μονάδες 5)
β) Αν η ευθεία τέμνει τον άξονα στο σημείο και η ευθεία
τέμνει τον άξονα στο σημείο , τότε:
iii) να βρείτε εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία και
(Μονάδες 5)
iv) να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου
(Μονάδες 5)
γ) Να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει
ανήκουν σε δύο παράλληλες ευθείες, των οποίων να βρείτε τις εξισώσεις.
(Μονάδες 10)
ΛΥΣΗ
α) Λύνουμε το σύστημα εξισώσεων των δύο ευθειών :
Επομένως το σημείο τομής των ευθειών και είναι .
β) Για από την πρώτη εξίσωση βρίσκουμε , οπότε . Επίσης για από την δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε , δηλαδή .
i) Η εξίσωση της ευθείας ΒΓ είναι :
ii) Επειδή , από το γνωστό τύπο βρίσκουμε :
γ) Είναι , οπότε :
Από αυτήν προκύπτει τελικά ότι :
και έτσι προκύπτουν οι εξισώσεις δύο ευθειών : και ,
οι οποίες είναι όντως παράλληλες.
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_18614.doc
- (88 KiB) Μεταφορτώθηκε 201 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Πέμ Δεκ 11, 2014 11:44 am, έχει επεξεργασθεί 6 φορές συνολικά.
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18615
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: ,
με , και . Αν το σημείο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με , τότε:
α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων και . (Μονάδες 13)
β) να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και (Μονάδες 7)
Λύση
α) Το μέσο του είναι :
Έτσι και
Αφού το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με τότε
Έτσι από τις σχέσεις τα είναι λύσεις της εξίσωσης
Άρα και αφού
Επειδή το είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: τότε, αν είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του θα ισχύει:
αφού
Προσθέτοντας την και παίρνουμε και εύκολα ότι .
Άρα και
β) Είναι και οπότε:
γ) Είναι και
Άρα τα σημεία ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα που είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: ,
με , και . Αν το σημείο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με , τότε:
α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων και . (Μονάδες 13)
β) να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και (Μονάδες 7)
Λύση
α) Το μέσο του είναι :
Έτσι και
Αφού το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με τότε
Έτσι από τις σχέσεις τα είναι λύσεις της εξίσωσης
Άρα και αφού
Επειδή το είναι παράλληλο προς την ευθεία ε: τότε, αν είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του θα ισχύει:
αφού
Προσθέτοντας την και παίρνουμε και εύκολα ότι .
Άρα και
β) Είναι και οπότε:
γ) Είναι και
Άρα τα σημεία ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και
Ηλίας Καμπελής
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_18617
Δίνονται τα διανύσματα και με μέτρα αντίστοιχα και η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση .
α) Να αποδείξετε ότι η παριστάνει ευθεία για κάθε . (Μονάδες 3)
β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα , να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 7)
γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα , να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7)
δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι (Μονάδες 8)
Λύση
α) Η είναι στη μορφή με , και .
Για να παριστάνει ευθεία, αρκεί ή . Δηλαδή ή . Δηλαδή ή που ισχύει. Άρα η εξίσωση παριστάνει
ευθεία για κάθε .
β) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα δεν θα ορίζεται για αυτή συντελεστής διεύθυνσης.
Οπότε \displaystyle{\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \varphi = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\varphi \in \left[ {0,\pi } \right]} \varphi = 0}\displaystyle{\left| {\overrightarrow b } \right| = 6 = 3\left| {\overrightarrow \alpha } \right|}\displaystyle{\overrightarrow b = 3\overrightarrow \alpha }\displaystyle{x'x}\displaystyle{0}\displaystyle{{\rm A} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow \alpha \overrightarrow b + 12 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow \alpha \overrightarrow b = - 12 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow \alpha } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\sigma \upsilon \nu \varphi = - 12 \Leftrightarrow }}.
Δηλαδή, τα διανύσματα είναι αντίρροπα και . Οπότε .
δ) Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων είναι η ευθεία με εξίσωση . Οποτε, η ευθεία και η θα έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Έχουμε λοιπόν
Δίνονται τα διανύσματα και με μέτρα αντίστοιχα και η μεταξύ τους γωνία. Επίσης δίνεται η εξίσωση .
α) Να αποδείξετε ότι η παριστάνει ευθεία για κάθε . (Μονάδες 3)
β) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα , να αποδείξετε ότι . (Μονάδες 7)
γ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα , να αποδείξετε ότι (Μονάδες 7)
δ) Αν η παραπάνω ευθεία είναι παράλληλη στην διχοτόμο πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων, να αποδείξετε ότι (Μονάδες 8)
Λύση
α) Η είναι στη μορφή με , και .
Για να παριστάνει ευθεία, αρκεί ή . Δηλαδή ή . Δηλαδή ή που ισχύει. Άρα η εξίσωση παριστάνει
ευθεία για κάθε .
β) Αν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα δεν θα ορίζεται για αυτή συντελεστής διεύθυνσης.
Οπότε \displaystyle{\displaystyle{\sigma \upsilon \nu \varphi = 1\mathop \Leftrightarrow \limits^{\varphi \in \left[ {0,\pi } \right]} \varphi = 0}\displaystyle{\left| {\overrightarrow b } \right| = 6 = 3\left| {\overrightarrow \alpha } \right|}\displaystyle{\overrightarrow b = 3\overrightarrow \alpha }\displaystyle{x'x}\displaystyle{0}\displaystyle{{\rm A} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow \alpha \overrightarrow b + 12 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow \alpha \overrightarrow b = - 12 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow \alpha } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\sigma \upsilon \nu \varphi = - 12 \Leftrightarrow }}.
Δηλαδή, τα διανύσματα είναι αντίρροπα και . Οπότε .
δ) Η διχοτόμος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων είναι η ευθεία με εξίσωση . Οποτε, η ευθεία και η θα έχουν ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Έχουμε λοιπόν
Παντούλας Περικλής
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Το 18613 που έλυσε ο Μπεληγιάννης σε Latex.
Έβαλα σχήμα , και ένα geogebra και μία μικρή διαφορά στην αρχή.
ΘΕΜΑ 18613
Δίνεται η εξίσωση , με .
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με .
(Μονάδες 12)
β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος (α) είναι ίσο με , να βρείτε την τιμή του .
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Η δεδομένη εξίσωση γίνεται :
(1)
Αν θέσουμε τότε η (1) γράφεται ισοδύναμα:
Το παραπάνω τριώνυμο ( ως προς ) έχει διακρίνουσα :
, αφού ,
συνεπώς έχει δύο ρίζες άνισες: ή .
Έτσι ή
ή
Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες:
Τις και , παράλληλες μεταξύ τους ,
με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με . ( Αφού )
β) Αφού οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι παράλληλες , η πλευρά α του τετραγώνου θα είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο ευθειών.
Παίρνουμε σημείο της ευθείας (ε) .
Άρα .
Αλλά ή
Έβαλα σχήμα , και ένα geogebra και μία μικρή διαφορά στην αρχή.
ΘΕΜΑ 18613
Δίνεται η εξίσωση , με .
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με .
(Μονάδες 12)
β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος (α) είναι ίσο με , να βρείτε την τιμή του .
(Μονάδες 13)
ΛΥΣΗ
α) Η δεδομένη εξίσωση γίνεται :
(1)
Αν θέσουμε τότε η (1) γράφεται ισοδύναμα:
Το παραπάνω τριώνυμο ( ως προς ) έχει διακρίνουσα :
, αφού ,
συνεπώς έχει δύο ρίζες άνισες: ή .
Έτσι ή
ή
Επομένως η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες:
Τις και , παράλληλες μεταξύ τους ,
με συντελεστή διεύθυνσης ίσο με . ( Αφού )
β) Αφού οι ευθείες (ε) και (ζ) είναι παράλληλες , η πλευρά α του τετραγώνου θα είναι ίση με την απόσταση μεταξύ των δύο ευθειών.
Παίρνουμε σημείο της ευθείας (ε) .
Άρα .
Αλλά ή
- Συνημμένα
-
- 18613-2.ggb
- (7.93 KiB) Μεταφορτώθηκε 136 φορές
ΠΑΠΑΣΤΑΘΟΠΟΥΛΟΣ ΘΑΝΑΣΗΣ
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5964
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 18613
Δίνεται η εξίσωση , με .
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με .
(Μονάδες 12)
β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος (α) είναι ίσο με , να βρείτε την τιμή του .
(Μονάδες 13)
α) Η πρώτη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ή ή
ή ή [ ή ].
β) Η ευθεία που είναι κάθετη στις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες τις τέμνει στα σημεία αντίστοιχα.
Επομένως ισχύει από όπου παίρνουμε ή
Παρατήρηση:
Θα μπορούσε το β) ερώτημα να ήταν:
Αν η πλευρά ρόμβου, του οποίου δύο πλευρές είναι πάνω στις ευθείες του α) ερωτήματος είναι , με να είναι δεδομένου μέτρου ευθύγραμμο τμήμα, βρείτε τη τιμή του
Δίνεται η εξίσωση , με .
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει στο επίπεδο, δύο ευθείες παράλληλες μεταξύ τους, καθεμιά από τις οποίες έχει κλίση ίση με .
(Μονάδες 12)
β) Αν το εμβαδόν του τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες του ερωτήματος (α) είναι ίσο με , να βρείτε την τιμή του .
(Μονάδες 13)
α) Η πρώτη εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: ή ή
ή ή [ ή ].
β) Η ευθεία που είναι κάθετη στις δύο προηγούμενες παράλληλες ευθείες τις τέμνει στα σημεία αντίστοιχα.
Επομένως ισχύει από όπου παίρνουμε ή
Παρατήρηση:
Θα μπορούσε το β) ερώτημα να ήταν:
Αν η πλευρά ρόμβου, του οποίου δύο πλευρές είναι πάνω στις ευθείες του α) ερωτήματος είναι , με να είναι δεδομένου μέτρου ευθύγραμμο τμήμα, βρείτε τη τιμή του
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1595
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
....Εκανα το 18615....
GI_V_MATHP_4_18615
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα που είναι παράλληλο προς την ευθεία
,με και
Αν το σημείο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος
και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με , τότε:
α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων και. (Μονάδες 13)
β) να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει
ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και . (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Σύμφωνα με την υπόθεση επειδή το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο προς την ευθεία ,
το διάνυσμα θα είναι παράλληλο με την ευθεία ,
άρα και παράλληλο με κάθε διάνυσμα . Ένα τέτοιο είναι το
επομένως θα ισχύει
οπότε (1)
Επειδή τώρα το σημείο είναι μέσο του θα ισχύουν
άρα
Επίσης από υπόθεση ισχύει (4)
Από (2), (4) έχουμε το άθροισα και το γινόμενο δύο αριθμών επομένως θα είναι ρίζες της εξίσωσης
που έχει διακρίνουσα
άρα ρίζες άρα επειδή
από υπόθεση είναι .
Έτσι από (1) θα είναι (5) και από (3),(5) προκύπτει ότι
επομένως είναι .
β) Είναι
γ) Αν τότε το με και
άρα
και αφού ισχύει θα είναι
απ όπου έχουμε ότι ή
που σημαίνει ότι τα σημεία είναι σημεία των , αυτό που θέλαμε.
Φιλικά καιΜαθηματικά
Βασίλης
GI_V_MATHP_4_18615
Θεωρούμε ευθύγραμμο τμήμα που είναι παράλληλο προς την ευθεία
,με και
Αν το σημείο είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος
και το γινόμενο των τετμημένων των σημείων και ισούται με , τότε:
α) να υπολογίσετε τις συντεταγμένες των σημείων και. (Μονάδες 13)
β) να αποδείξετε ότι , όπου είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες 5)
γ) να αποδείξετε ότι τα σημεία για τα οποία ισχύει
ανήκουν στις ευθείες με εξισώσεις τις: και . (Μονάδες 7)
ΛΥΣΗ
α) Σύμφωνα με την υπόθεση επειδή το ευθύγραμμο τμήμα είναι παράλληλο προς την ευθεία ,
το διάνυσμα θα είναι παράλληλο με την ευθεία ,
άρα και παράλληλο με κάθε διάνυσμα . Ένα τέτοιο είναι το
επομένως θα ισχύει
οπότε (1)
Επειδή τώρα το σημείο είναι μέσο του θα ισχύουν
άρα
Επίσης από υπόθεση ισχύει (4)
Από (2), (4) έχουμε το άθροισα και το γινόμενο δύο αριθμών επομένως θα είναι ρίζες της εξίσωσης
που έχει διακρίνουσα
άρα ρίζες άρα επειδή
από υπόθεση είναι .
Έτσι από (1) θα είναι (5) και από (3),(5) προκύπτει ότι
επομένως είναι .
β) Είναι
γ) Αν τότε το με και
άρα
και αφού ισχύει θα είναι
απ όπου έχουμε ότι ή
που σημαίνει ότι τα σημεία είναι σημεία των , αυτό που θέλαμε.
Φιλικά καιΜαθηματικά
Βασίλης
f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα σε όλους.hlkampel έγραψε:GI_V_MATHP_4_18619
Δίνονται τα σημεία , και , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 8)
γ) Για ,να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
Λύση
γ) Σημείωση: Αυτό το ερώτημα είναι λάθος γιατί:
Αν τότε δηλαδή το ταυτίζεται με το οπότε δεν υπάρχει τετράπλευρο αφού τα σημεία είναι συνευθειακά.
Το θέμα έχει ήδη αποσυρθεί από την Τράπεζα Θεμάτων.
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα σε όλους. Προστέθηκαν 22 νέα θέματα στην τράπεζα.
Παντούλας Περικλής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
GI_V_MATHP_4_20147
Είναι η πρώην 4_18619 με αλλαγμένες τις συντεταγμένες του
Επεξεργάστηκα τη λύση του Ηλία Καμπελή (φαντάζομαι με τη συναίνεσή του) και τροποποίησα το τελευταίο ερώτημα
Δίνονται τα σημεία , και , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 8)
γ) Για ,να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
Λύση:
α) Το μέσο του τμήματος είναι: δηλαδή το
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι:
Αν είναι η μεσοκάθετος του τότε και η εξίσωση της είναι:
β) Αφού το ισαπέχει από τα σημεία και τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του δηλαδή στην ευθεία .
Έτσι με και η γίνεται:
γ) Αν τότε . Το σημείο πρέπει να ισαπέχει από τα , οπότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο του , άρα έχει συντεταγμένες .
Οπότε
Η εξίσωση δίνει , οπότε ή που απορρίπτεται αφού ταυτίζεται με το
Είναι η πρώην 4_18619 με αλλαγμένες τις συντεταγμένες του
Επεξεργάστηκα τη λύση του Ηλία Καμπελή (φαντάζομαι με τη συναίνεσή του) και τροποποίησα το τελευταίο ερώτημα
Δίνονται τα σημεία , και , .
α) Να βρείτε την μεσοκάθετο του τμήματος . (Μονάδες 7)
β) Αν το σημείο ισαπέχει από τα σημεία και , να βρείτε την τιμή του . (Μονάδες 8)
γ) Για ,να βρείτε σημείο ώστε το τετράπλευρο να είναι ρόμβος. (Μονάδες 10)
Λύση:
α) Το μέσο του τμήματος είναι: δηλαδή το
Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι:
Αν είναι η μεσοκάθετος του τότε και η εξίσωση της είναι:
β) Αφού το ισαπέχει από τα σημεία και τότε ανήκει στη μεσοκάθετο του δηλαδή στην ευθεία .
Έτσι με και η γίνεται:
γ) Αν τότε . Το σημείο πρέπει να ισαπέχει από τα , οπότε βρίσκεται στη μεσοκάθετο του , άρα έχει συντεταγμένες .
Οπότε
Η εξίσωση δίνει , οπότε ή που απορρίπτεται αφού ταυτίζεται με το
- Συνημμένα
-
- GI_V_MATHP_4_20147.doc
- (100 KiB) Μεταφορτώθηκε 162 φορές
- Στέλιος Μαρίνης
- Δημοσιεύσεις: 536
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
- Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
GI_V_MATHP_4_20147 άλλη λύση για το γ
GI_V_MATHP_4_20147
Στο α) βρήκαμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της διαγωνίου ΒΓ .Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ ρόμβος πρέπει κι αρκεί το Μ να είναι μέσο της ΒΔ, άρα και βρίσκουμε εύκολα Δ(1,5)
Στο α) βρήκαμε τις συντεταγμένες του μέσου Μ της διαγωνίου ΒΓ .Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΔΓ ρόμβος πρέπει κι αρκεί το Μ να είναι μέσο της ΒΔ, άρα και βρίσκουμε εύκολα Δ(1,5)
Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στέλιο καλησπέρα.
Ενημερώνω άμεσα το Δελτίο λύσεων του με τη δική σου απλούστερη και ταχύτερη λύση.
Ενημερώνω άμεσα το Δελτίο λύσεων του με τη δική σου απλούστερη και ταχύτερη λύση.
- Στέλιος Μαρίνης
- Δημοσιεύσεις: 536
- Εγγραφή: Πέμ Ιούλ 16, 2009 9:45 pm
- Τοποθεσία: Νέα Σμύρνη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Καλησπέρα Γιώργο. Σε επόμενη φάση ελπίζω να προλάβω να βοηθήσω κι εγώ στις λύσεις των θεμάτων της τράπεζας. Ωστόσο μια προσπάθεια που άρχισα με τη Γεωμετρία Β' να δίνονται υποδείξεις αντί λύσεων, ίσως βοηθάει περισσότερο τους μαθητές. Αν νομίζετε ότι είναι χρήσιμο, θα λεγα παράλληλα με τις πλήρεις λύσεις να ανοίξει μια νέα ομαδική εργασία με αυτό το περιεχόμενο.Γιώργος Ρίζος έγραψε:Στέλιο καλησπέρα.
Ενημερώνω άμεσα το Δελτίο λύσεων του με τη δική σου απλούστερη και ταχύτερη λύση.
Κάποτε οι καμπύλες των γραφικών παραστάσεων ζωντανεύουν, είναι διαφορίσιμες γιατί είναι λείες κι όμορφες, έχουν ακρότατες τιμές γιατί αρνούνται τη μονοτονία, δεν έχουν όριο πραγματικό, αλλά μπορείς και τις φαντάζεσαι στο άπειρο και η ασύμπτωτη ευθεία είναι το καράβι που σε ταξιδεύει πλάι τους.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Στέλιο, η πρότασή σου με βρίσκει σύμφωνο και θα χαρώ να συμβάλλω.
Έτσι κι αλλιώς, όπως όλα τα εργαλεία, έτσι και τα "λυσάρια" θα πρέπει να χρησιμοιούνται με σύνεση και προσοχή από τον χρήστη, ώστε να παίζουν το ρόλο για τον οποίον έχουν φτιαχτεί, δίχως τον κίνδυνο ατυχήματος!
Έτσι κι αλλιώς, όπως όλα τα εργαλεία, έτσι και τα "λυσάρια" θα πρέπει να χρησιμοιούνται με σύνεση και προσοχή από τον χρήστη, ώστε να παίζουν το ρόλο για τον οποίον έχουν φτιαχτεί, δίχως τον κίνδυνο ατυχήματος!
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Συμφωνώ και εγώ.
Δεν χρειάζεται να δίνουμε έτοιμες τις λύσεις.
Δίνουμε πρώτα τα αρχεία με υποδείξεις και αργότερα ανεβάζουμε τις λύσεις.
Θα υπάρχει όμως μία δυσκολία με την πρόσβαση στους φακέλλους
Δεν χρειάζεται να δίνουμε έτοιμες τις λύσεις.
Δίνουμε πρώτα τα αρχεία με υποδείξεις και αργότερα ανεβάζουμε τις λύσεις.
Θα υπάρχει όμως μία δυσκολία με την πρόσβαση στους φακέλλους
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
-
- Δημοσιεύσεις: 24
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 16, 2013 9:35 am
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αυτό που πραγματικά χρειάζεται είναι να δίνουμε αναλυτικές λύσεις και όχι κάτι <<ξερές>> απαντήσεις . Στην Ελλάδα της κρίσης , ο μαθητής ας βρεί μια δωρεάν βοήθεια . Ο όγκος της τράπεζας είναι τεράστιος . Η προχειρότητα της τράπεζας επίσης. Η προχειρότητα του νέου σχολείου τεράστια. Ας αφήσουμε τις υποδείξεις για την μέσα στην τάξη δουλειά . Ο μαθητής θέλει βοήθεια και όχι γρίφους . Δεν μιλάμε για το υποδειγματικό σχολείο που θα εφαρμόσουμε όλες τις <<παιδαγωγικές>> μεθόδους. Σήμερα με την τράπεζα το σχολείο ίσως γίνεται κρεματόριο απο την Α λυκείου. Συγνώμη για το χαρακτηρισμό κρεματόριο .
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Αγαπητοί φίλοι, ας συνεχίσουμε να συγκεντρώνουμε εδώ (και στον αντίστοιχο φάκελο του 2ου θέματος) τις λύσεις, τις παρατηρήσεις και τυχόν διορθώσεις στις 52 ΝΕΕΣ ασκήσεις που αναρτήθηκαν στην Τράπεζα Θεμάτων της Β΄Λυκείου.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
Κατόπιν θα συγκεντρωθούν και θα σελιδοποιηθούν ώστε να αναρτηθούν με την ευθύνη των επιμελητών του .
Ας φροντίσουμε να είναι πλήρως διατυπωμένες οι απαντήσεις μας, για να διευκολυνθούν οι συντάκτες των δελτίων.
Η πρόσκληση απευθύνεται σε κάθε μέλος και φίλο του που θα ήθελε να συμμετέχει.
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5286
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
4_22557
Έστω η εξίσωση: , όπου
α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση όταν και τι όταν ;
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του από το διάστημα η εξίσωση στο καρτεσιανό επίπεδο παριστάνει κύκλο.
(Μονάδες 8)
γ) Καθώς το \displaystyle μεταβάλλεται στο διάστημα , να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ:
α) Για η (1) γράφεται
, οπότε παριστάνει το σημείο
Για η (1) γράφεται
, οπότε παριστάνει το σημείο
β) Το τριώνυμο έχει ρίζες , οπότε για κάθε τιμή του στο διάστημα είναι θετικό, άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο.
γ) Τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση έχουν τετμημένη και τεταγμένη ,
οπότε οι συντεταγμένες των κέντρων των κύκλων συνδέονται με την εξίσωση .
Είναι ,
οπότε τα κέντρα των κύκλων κινούνται στο ευθύγραμμο τμήμα (δίχως άκρα) με εξίσωση
Έστω η εξίσωση: , όπου
α) Τι παριστάνει γεωμετρικά σε καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση όταν και τι όταν ;
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του από το διάστημα η εξίσωση στο καρτεσιανό επίπεδο παριστάνει κύκλο.
(Μονάδες 8)
γ) Καθώς το \displaystyle μεταβάλλεται στο διάστημα , να αποδείξετε ότι τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση ανήκουν σε ένα ευθύγραμμο τμήμα από το οποίο εξαιρούνται τα άκρα του.
(Μονάδες 9)
ΛΥΣΗ:
α) Για η (1) γράφεται
, οπότε παριστάνει το σημείο
Για η (1) γράφεται
, οπότε παριστάνει το σημείο
β) Το τριώνυμο έχει ρίζες , οπότε για κάθε τιμή του στο διάστημα είναι θετικό, άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο.
γ) Τα κέντρα των κύκλων οι οποίοι προκύπτουν από την εξίσωση έχουν τετμημένη και τεταγμένη ,
οπότε οι συντεταγμένες των κέντρων των κύκλων συνδέονται με την εξίσωση .
Είναι ,
οπότε τα κέντρα των κύκλων κινούνται στο ευθύγραμμο τμήμα (δίχως άκρα) με εξίσωση
Re: 4o ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 4_22562
Θεωρούμε τα σημεία .
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του . (Μονάδες 5)
β) Να δείξετε ότι το κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
γ) Αν να αποδείξετε ότι και κατόπιν να βρείτε τα ώστε η απόσταση να είναι ελάχιστη . (Μονάδες 10)
Λύση α) Για κάθε μέσο του θα είναι : και
β) απαλείφοντας την παράμετρο έχουμε , ευθεία στην οποία ανήκουν όλα τα μέσα των μεταβλητών τμημάτων .
γ) και άρα .
Συνεπώς .
Η προηγούμενη γράφεται ισοδύναμα :
που ισχύει για κάθε .
Το ίσον ισχύει για και τότε έχουμε ελάχιστη τιμή του με .
Παρατήρηση : πράγματι τότε δηλαδή .
Θεωρούμε τα σημεία .
α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του μέσου του . (Μονάδες 5)
β) Να δείξετε ότι το κινείται σε ευθεία την οποία να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
γ) Αν να αποδείξετε ότι και κατόπιν να βρείτε τα ώστε η απόσταση να είναι ελάχιστη . (Μονάδες 10)
Λύση α) Για κάθε μέσο του θα είναι : και
β) απαλείφοντας την παράμετρο έχουμε , ευθεία στην οποία ανήκουν όλα τα μέσα των μεταβλητών τμημάτων .
γ) και άρα .
Συνεπώς .
Η προηγούμενη γράφεται ισοδύναμα :
που ισχύει για κάθε .
Το ίσον ισχύει για και τότε έχουμε ελάχιστη τιμή του με .
Παρατήρηση : πράγματι τότε δηλαδή .
- Συνημμένα
-
- Θέμα 4_22562.doc
- (76.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 111 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης