Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

STOPJOHN · #1

Να κατασκευασθεί τρίγωνο $AB\Gamma$ , όταν δίνονται : Η διχοτόμος $A\Delta =\delta _{a}$ ,η διάμεσος $AE=\mu _{a}$ και ο λόγος $\dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }$

Γιάννης

#2

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο $AB\Gamma$ , όταν δίνονται : Η διχοτόμος $A\Delta =\delta _{a}$ ,η διάμεσος $AE=\mu _{a}$ και ο λόγος $\dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }$

Γιάννης

Καλησπέρα Γιάννη.

Ανάλυση: Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε και $\displaystyle{\frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu } < 1}$ . Από τα σημεία $B,\Gamma$ φέρνω κάθετες στη διχοτόμο που τέμνουν την $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ στα σημεία Z, H

αντίστοιχα και τις ευθείες $A\Gamma, AB$ στα σημεία $B_1, \Gamma_1$ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα $ABB_1, A\Gamma\Gamma_1$ είναι ισοσκελή, οπότε Z, H

είναι τα μέσα των $BB_1, \Gamma\Gamma_1$ και $\displaystyle{{\rm E}{\rm Z} = {\rm E}{\rm H} = \frac{{\beta - \gamma }}{2}}$ .

Επίσης, $\displaystyle{\frac{{\Delta {\rm Z}}}{{\Delta {\rm H}}} = \frac{{\Delta {\rm B}}}{{\Delta \Gamma }} = \frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu }}$ και $\displaystyle{\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm A}{\Gamma _1}}} = \frac{\gamma }{\beta } = \frac{\mu }{\nu }}$ . Τα σημεία λοιπόν Z,H

είναι συζυγή

αρμονικά των $A, \Delta$ και από τις σχέσεις $\displaystyle{\frac{2}{{{\delta _\alpha }}} = \frac{1}{{{\rm A}{\rm Z}}} + \frac{1}{{{\rm A}{\rm H}}},\frac{{{\rm A}{\rm Z}}}{{{\rm A}{\rm H}}} = \frac{\mu }{\nu }}$ , παίρνουμε: $\boxed{{\rm A}{\rm Z} = \frac{{(\mu + \nu ){\delta _\alpha }}}{{2\nu }},{\rm A}{\rm H} = \frac{{(\mu + \nu ){\delta _\alpha }}}{{2\mu }}}$

: Κατασκευή τριγώνου 1.png (14.23 KiB) Προβλήθηκε 4331 φορές

Κατασκευή: Κατασκευάζω τμήμα $\displaystyle{{\rm A}\Delta = {\delta _\alpha }}$ και επί της ευθείας $A\Delta$ θεωρώ τα σημεία Z, H

, όπως υπολογίστηκαν στην Ανάλυση. Η μεσοκάθετος του Z H

και ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\mu _\alpha }} \right)}$ τέμνονται στο σημείο

. Οι κάθετες στην

στα σημεία Z, H

τέμνουν την ευθεία $\Delta E$ στα $B,\Gamma$ αντίστοιχα. Το $AB\Gamma$ είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Διερεύνηση: Για να κατασκευάζεται το τρίγωνο πρέπει ο κύκλος $\displaystyle{\left( {{\rm A},{\mu _\alpha }} \right)}$ να τέμνει τη μεσοκάθετο του Z H

. Αν

είναι η απόσταση της κορυφής

από τη μεσοκάθετο του Z H

, πρέπει $\displaystyle{d < {\mu _\alpha }}$ .

Αλλά, $\displaystyle{d = \frac{1}{2}\left( {{\rm A}{\rm Z} + {\rm A}{\rm H}} \right) = \frac{{{\delta _\alpha }{{(\mu + \nu )}^2}}}{{4\mu \nu }}}$ . Άρα για να έχουμε λύση πρέπει $\boxed{\frac{{{\delta _\alpha }{{(\mu + \nu )}^2}}}{{4\mu \nu }} < {\mu _\alpha }}$

Στην αρχή υποθέσαμε ότι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu } < 1}$ . Αν είναι $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu } > 1}$ , εργαζόμαστε ανάλογα. Αν όμως $\displaystyle{\frac{\mu }{\nu } = 1}$ , τότε το τρίγωνο $AB\Gamma$ είναι ισοσκελές ( $\beta=\gamma$ ). Στην περίπτωση αυτή το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις. Όλα τα ισοσκελή τρίγωνα που έχουν κοινή διάμεσο από την κορυφή

είναι λύσεις του προβλήματος.

Καλησπερίζω και τον Σωτήρη.

edit: Άρση της απόκρυψης και λύση της άσκησης.

S.E.Louridas · #3

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο $AB\Gamma$ , όταν δίνονται : Η διχοτόμος $A\Delta =\delta _{a}$ ,η διάμεσος $AE=\mu _{a}$ και ο λόγος $\dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }$

Γεια και χαρά με μία άλλη άποψη και μόνο για λόγους πλουραλισμού:

Αρκεί να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο ${{\rm A}_1}{{\rm B}_1}{\Gamma _1}$ όμοιο με το τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Gamma ,$ για το οποίο δίνονται (*) η πλευρά του ${{\rm B}_1}{\Gamma _1},$ και οι λόγοι $\displaystyle{\frac{{{{\rm A}_1}{{\rm B}_1}}}{{{{\rm A}_1}{\Gamma _1}}} = \frac{\mu }{\nu }}$ και $\displaystyle{\frac{{{{\rm A}_1}{{\rm E}_1}}}{{{{\rm A}_1}{\Delta _1}}} = \frac{{{\mu _\alpha }}}{{{\delta _\alpha }}},}$ όταν ${\Delta _1}$ είναι σημείο του ${{\rm B}_1}{\Gamma _1},$ ώστε $\displaystyle{\frac{{{\Delta _1}{{\rm B}_1}}}{{{\Delta _1}{\Gamma _1}}} = \frac{\mu }{\nu }$ και ${{\rm E}_1}}$ είναι το μέσο της ${{\rm B}_1}{\Gamma _1}.$ Όμως τότε η κορυφή ${{\rm A}_1}$ προσδιορίζεται ως τομή δύο Απολλώνιων κύκλων.

(*) Δηλαδή παίρνουμε σαν βάση ένα ευθύγραμμο τμήμα ${{\rm B}_1}{\Gamma _1}$ ( Το σχήμα ακολουθεί) και εργαζόμαστε όπως περιγράψαμε.

#4

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο $AB\Gamma$ , όταν δίνονται : Η διχοτόμος $A\Delta =\delta _{a}$ ,η διάμεσος $AE=\mu _{a}$ και ο λόγος $\dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }$

Γιάννης

Γεια σε όλους.

: Κατασκευή Σταματογιάννη_διχοτόμος διάμεσος λόγος.png (32.53 KiB) Προβλήθηκε 4216 φορές

Κατασκευή.

Έστω ευθύγραμμο τμήμα AM = m

(μήκος διαμέσου) και

το συμμετρικό του

ως προς το

.

Γράφουμε τον Απολλώνιο κύκλο κέντρου

για κάθε σημείο

του οποίου $\dfrac{{PA}}{{PA'}} = \dfrac{\mu }{\nu }$ ( δεδομένος λόγος) .

Ο κύκλος αυτός τέμνει την ευθεία AA'

στα σημεία E,Z

( Το

μεταξύ των A,A'

)

Με κέντρο το

κι ακτίνα ${R_2} = \dfrac{d}{m} \cdot MZ$ ( d =

μήκος δεδομένης διχοτόμου) γράφουμε κύκλο που τέμνει τον Απολλώνιο κύκλο στο σημείο

.

Αν

το συμμετρικό του

ως προς το

το τρίγωνο ABC

είναι το ζητούμενο.

Απόδειξη.

Αν γράψουμε το κύκλο ${K_3} \to (A,d)$ και κόψει την

στο

, οι ευθείες AD,CE

τέμνονται κάθετα στο

αφού λόγω κατασκευής $\dfrac{{AD}}{{ZC}} = \dfrac{{AM}}{{MZ}}$ .

Θα είναι έτσι AT//ZC

και άρα η

διχοτόμος της $B\widehat AC$ .

Φιλικά Νίκος

#5

STOPJOHN έγραψε:Να κατασκευασθεί τρίγωνο $AB\Gamma$ , όταν δίνονται : Η διχοτόμος $A\Delta =\delta _{a}$ ,η διάμεσος $AE=\mu _{a}$ και ο λόγος $\dfrac{AB}{A\Gamma }=\dfrac{\mu }{\nu }$

Γιάννης

Και ένα δυναμικό αρχείο Geogebra, κατασκευής του τριγώνου με ενσωματωμένες μερικές μακροεντολές, το τελευταίο εικονίδιο δεξιά, ( Στα εργαλεία και στη διαχείριση εργαλείων υπάρχει βοήθεια για κάθε μακροεντολή).

Νίκος

STOPJOHN · #6

Nίκο καλησπέρα δεν ανοίγει το δυναμικό αρχείο της Geogebra

Βγαζει μύνημα η εφαρμογή δεν βρέθηκε

Γιάννης

Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Re: Κατασκευή τριγώνου (Π.Σ)

Μέλη σε σύνδεση