Ανισότητα

Συντονιστής: polysot

Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 22
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Παρ Μάιος 11, 2018 4:53 pm

Αν a,b,c θετικοί, να αποδείξετε ότι:

\frac{1}{a^{2}+3}+\frac{1}{b^{2}+3}+\frac{1}{c^{2}+3}\leq \frac{a+b+c}{4\sqrt{abc}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6097
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Μάιος 11, 2018 8:27 pm

Λόγω της \displaystyle{x^2+1\geq 2x,} αρκεί να αποδειχθεί ότι

\displaystyle{\frac{1}{2a+2}+\frac{1}{2b+2}+\frac{1}{2c+2}\leq \frac{a+b+c}{4\sqrt{abc}},}

δηλαδή ότι

\displaystyle{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\leq \frac{a+b+c}{2\sqrt{abc}}.}

Πάλι, λόγω της \displaystyle{x+1\geq 2\sqrt{x},} αρκεί

\displaystyle{\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{2\sqrt{b}}+\frac{1}{2\sqrt{c}}\leq \frac{a+b+c}{2\sqrt{abc}}}

δηλαδή

\displaystyle{a+b+c\geq \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca},} η οποία είναι η \displaystyle{x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης