Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Τρί Μάιος 26, 2020 8:27 pm

Να λυθούν τα συστήματα

1.\,\,x+y=a,\,y+z=b,\,z+x=c

   2.\,\,xy=a,\,yz=b,\,zx=c



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 349
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Τρί Μάιος 26, 2020 9:10 pm

Για το μεν πρώτο σχηματίζουμε το άθροισμα \displastyle x+y+z και για το δεύτερο το γινόμενο \displastyle xyz


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9366
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 27, 2020 12:38 pm

rek2 έγραψε:
Τρί Μάιος 26, 2020 8:27 pm
Να λυθούν τα συστήματα

1.\,\,x+y=a,\,y+z=b,\,z+x=c

   2.\,\,xy=a,\,yz=b,\,zx=c
1. Με πρόσθεση κατά μέλη: \displaystyle x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}. Στη συνέχεια αφαιρώντας από αυτήν τις εξισώσεις του

συστήματος προκύπτουν: \boxed{x = \frac{{a + c - b}}{2},y = \frac{{a + b - c}}{2},z = \frac{{b + c - a}}{2}}

2. Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη: \displaystyle {(xyz)^2} = abc

\displaystyle  \bullet Αν abc<0, το σύστημα είναι αδύνατο.

\displaystyle  \bullet Αν abc=0, τότε το σύστημα λύνεται κατά περίπτωση (δεν έχει πάντα λύση).

\displaystyle  \bullet Αν abc>0, τότε \displaystyle xyz =  \pm \sqrt {abc} και διαιρώντας με καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος βρίσκουμε τους x, y, z.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4648
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Ιουν 07, 2020 10:50 am

Καλημέρα σε όλους. Γράφω κάπως πιο αναλυτικά τις δυνατές περιπτώσεις στο 2ο σύστημα. Στο πρώτο έδωσε απάντηση ο Γιώργος παραπάνω. Να σημειώσω απλώς ότι έχει πάντα λύση στο R^3, η οποία απεικονίζεται στο τρισδιάστατο γράφημα που επισυνάπτω.
Περισσότερα και καλύτερα σχήματα, ίσως, θα έχει να προσθέσει ο Κώστας Δόρτσιος.

1.
 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
x + y = a\;\;\;\left( 1 \right)\\ 
x + z = b\;\;\;\,\left( 2 \right)\\ 
z + y = c\,\,\,\,\,\left( 3 \right) 
\end{array} \right.

Προσθέτω (1), (2) και (3)

 \displaystyle x + y + z = \frac{{a + b + c}}{2}\;\;\;\left( 4 \right)

(4) – (1)  \displaystyle z = \frac{{b + c - a}}{2} , (4) – (2)  \displaystyle y = \frac{{a + c - b}}{2} , (4) – (3)  \displaystyle x = \frac{{a + b - c}}{2}



2. Λύνουμε το σύστημα για x, y, z πραγματικούς αριθμούς.

 \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{\mkern 1mu} xy = a\;\;\left( 1 \right)\\ 
yz = b\;\;\left( 2 \right)\\ 
{\mkern 1mu} zx = c\;\;\left( 3 \right) 
\end{array} \right.\;\;\;\;\mathop  \Rightarrow \limits^ \times  \;\;\;{\left( {xyz} \right)^2} = abc .

abc<0 δηλαδή αν ένας ή τρεις από τους αριθμούς a, b, c είναι αρνητικοί και οι άλλοι θετικοί, τότε το σύστημα είναι αδύνατο.

Αν a>0, b>0, c>0 τότε  \displaystyle xyz = \sqrt {abc} \;\;\;\left( 4 \right) .

Τότε, διαδοχικά:

Από (4) : (1) έχουμε  \displaystyle z = \frac{{\sqrt {abc} }}{a} = \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {{a^2}} }} = \sqrt {\frac{{bc}}{a}}

Από (4) : (2) έχουμε  \displaystyle x = \sqrt {\frac{{ac}}{b}} και από (4) : (3) έχουμε  \displaystyle y = \sqrt {\frac{{ab}}{c}}

Αν a>0, b<0, c<0 τότε xy>0, yz<0, zx<0 άρα xyz<0, οπότε  \displaystyle xyz =  - \sqrt {abc} \;\;\;\;\left( 5 \right)

Από (5) : (1) έχουμε  \displaystyle z = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{a} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{\sqrt {{a^2}} }} =  - \sqrt {\frac{{bc}}{a}} ,
από (5) : (2)  \displaystyle x = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{b} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{ - \sqrt {{b^2}} }} = \sqrt {\frac{{ac}}{b}} και από (5) : (3)  \displaystyle y = \sqrt {\frac{{ab}}{c}} .

Ομοίως, αν a<0, b>0, c<0 τότε xy<0, yz>0, zx<0 άρα xyz<0, οπότε επίσης είναι  \displaystyle xyz =  - \sqrt {abc} \;\;\;\;\left( 5 \right)

Τότε (5) : (1) έχουμε  \displaystyle z = \sqrt {\frac{{bc}}{a}} , από (5) : (2)  \displaystyle x = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{b} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{\sqrt {{b^2}} }} =  - \sqrt {\frac{{ac}}{b}}

και από (5) : (3)  \displaystyle y = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{c} = \frac{{ - \sqrt {abc} }}{{ - \sqrt {{c^2}} }} = \sqrt {\frac{{ab}}{c}} .

Τέλος, αν αν a<0, b<0, c>0, τότε  \displaystyle z = \sqrt {\frac{{bc}}{a}} ,  \displaystyle x = \sqrt {\frac{{ac}}{b}} και  \displaystyle y =  - \sqrt {\frac{{ab}}{c}} .

Αν a=0, bc \ne 0 αδύνατο. Πράγματι  \displaystyle a = 0 \Rightarrow xy = 0 \Rightarrow \left( {x = 0\;\; \vee \;\;y = 0} \right) \Rightarrow \left( {b = 0\;\; \vee \;c = 0} \right) .

Ομοίως αδύνατο είναι αν b=0, ac \ne 0 ή c=0, ab \ne 0.

Αν a=b=0, c \ne 0 τότε y=0 και  \displaystyle x \in {R^*},\;\;z = \frac{c}{x} .

Αν a=c=0, b \ne 0 τότε x=0 και  \displaystyle y \in {R^*},\;\;z = \frac{b}{y} .

Αν b=c=0, a \ne 0 τότε z=0 και  \displaystyle x \in {R^*},\;\;z = \frac{a}{x} .

Αν a=b=c=0, τότε x=y=0, z \in R ή x=z=0, y \in R ή y=z=0, x \in R.

Ουφ.
Συνημμένα
27-5-2020 Σύστημα.ggb
(43.76 KiB) Μεταφορτώθηκε 6 φορές


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1894
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Συστήματα με ειδικό τρόπο λύσης

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιουν 07, 2020 11:20 am

Γιώργος Ρίζος έγραψε:
Κυρ Ιουν 07, 2020 10:50 am
Καλημέρα σε όλους. Γράφω κάπως πιο αναλυτικά τις δυνατές περιπτώσεις στο 2ο σύστημα. Στο πρώτο έδωσε απάντηση ο Γιώργος παραπάνω. Να σημειώσω απλώς ότι έχει πάντα λύση στο R^3, η οποία απεικονίζεται στο τρισδιάστατο γράφημα που επισυνάπτω.

Ουφ.
Γιώργο, να είσαι καλά Φίλε!

Αφήνεις, αυτό που πρέπει, στις γενιές που ακολουθούν!!


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες