Ισοσκελές με γωνία 120

#1

Στη βάση

ισοσκελους τριγώνου ABC

με την γωνία A=120^o

, παίρνουμε τμήματα BD=1, CF=2

.

Αν η γωνία DAF

είναι

, να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

Ιστοσελίδα · #2

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

Γεια σου Κώστα.

: shape.png (13.47 KiB) Προβλήθηκε 2909 φορές

Στροφή του τριγώνου ABD

ως προς

κατά ${120^ \circ }$ (τρίγωνο ACE

).

$\triangleleft ADF\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangleleft AEF \Rightarrow DF = FE$ .

Νόμος συνημιτόνων στο $CEF:FE = \sqrt 3$ .

#3

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

Καλησπέρα!

: Κ.Ρ.png (16.86 KiB) Προβλήθηκε 2899 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{gathered} {b^2} = A{D^2} + BD \cdot DC \hfill \\ {b^2} = A{F^2} + CF \cdot FB \hfill \\ {(x + 3)^2} = 3{b^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} A{D^2} = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{3} \hfill \\ \hfill \\ A{F^2} = \frac{{{x^2} + 3}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Εξάλλου, $x^2=AD^2+AF^2-AD\cdot AF,$ απ' όπου μετά τις πράξεις, $\displaystyle 9({x^2} - 3)(x + 1) = 0$ και $\boxed{x=\sqrt 3}$

#4

Μιχάλης Νάννος έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 5:12 pm

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$
Γεια σου Κώστα.shape.png
Στροφή του τριγώνου ως προς κατά ${120^ \circ }$ (τρίγωνο ).

$\triangleleft ADF\mathop = \limits^{\Pi - \Gamma - \Pi } \triangleleft AEF \Rightarrow DF = FE$ .

Νόμος συνημιτόνων στο $CEF:FE = \sqrt 3$ .

Την... έσφαξες, στο γόνατο!!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

Κατασκευάζοντας το ισόπλευρο τρίγωνο DFK

το

είναι εγγράψιμμο και BD=DN=1

οπότε (ν.συνημιτόνου) $BN=\sqrt{3}$

Από το εγγράψιμμο ANDC

είναι $1.(x+3)= \sqrt{3} b$ κι από $\triangle AKN \simeq AFC \Rightarrow \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{b- \sqrt{3} }{b}$

Απ αυτές παίρνουμε την $x^2=3\Rightarrow x= \sqrt{3}$

: ισοσκελές με γωνία 120.png (62.22 KiB) Προβλήθηκε 2809 φορές

#6

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

.
Νομίζω ότι το παρακάτω αναδεικνύει το "τι τρέχει", της ωραίας αυτής άσκησης.

Σχεδιάζουμε το κανονικό δωδεκάγωνο που περιέχει το δοθέν ισοσκελές τρίγωνο ABC

. Έστω ότι οι διαγώνιοι AD_1, AH

τέμνουν την

στα

. Από τον Νόμο των Ημιτόνων στα τρίγωνα ABD, AFC

έχουμε

$\dfrac {AB}{\sin 135}= \dfrac {BD}{\sin 15}$ και $\dfrac {AC}{\sin 75}= \dfrac {CF}{\sin 45}$ .

Διαιρώντας κατά μέλη και με χρήση της $2\sin 15 \sin 75=2\sin 15 \cos 15= \sin 30 = \frac {1}{2}$ εύκολα συμπεραίνουμε ότι CF=2BD

. Δηλαδή τα D,F

του επισυναπτόμενου σχήματος είναι τα ίδια με τα D,F

της εκφώνησης. Το ίδιο συμπέρασμα βγαίνει και με άλλους τρόπους όπως π.χ. από την ομοιότητα των BDD_1, ADC

και μικρή ακόμα εργασία. Το σχήμα επιβεβαιώνει ακόμα ότι η (εγγεγραμμένη) $\angle D_1AH=60^o$ .

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι (π.χ. από το γεγονός ότι το ABF

είναι ισοσκελές με δύο γωνίες 75^o

, ή αλλιώς) ότι $DF =\sqrt 3$ .

Με άλλα λόγια, ο δράστης των παραπάνω ιδιοτήτων είναι το κανονικό δωδεκάγωνο.
.

#7

rek2 έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 21, 2025 12:21 pm
Στη βάση ισοσκελους τριγώνου με την γωνία , παίρνουμε τμήματα .

Αν η γωνία είναι , να δεχτεί ότι $DF=3^{0.5}$

Πρώτα - πρώτα ‘Όλες οι λύσεις είναι πολύ μα πολύ ωραίες . Η του Μιχάλη του Νάννου στηρίζεται στις πλέον στοιχειώδεις προτάσεις

Αν γράψω το κύκλο του $\vartriangle ABC$ η ακτίνα του θα είναι y = R = AB = AC

και η πλευρά εγγεγραμμένου ισοπλεύρου τριγώνου σ αυτόν

Θα είναι a = BC = x + 3

και άρα $x + 3 = R\sqrt 3 \Leftrightarrow \boxed{y = \frac{{x + 3}}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt 3 }} + \sqrt 3 }\,\,\,\left( 1 \right)$ .

Γράφω τώρα το κύκλο του $\vartriangle ABC$ με κέντρο

και ακτίνα , $\boxed{r = \frac{x}{{\sqrt 3 }}}\,\,\,\,\left( 2 \right)$ ( ${\lambda _3} = r\sqrt 3$ ).

Προεκτείνω την

προς το

και τέμνει τον κύκλο στο

. Είναι εύκολο να διαπιστώσω ότι : $TD \bot BF\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,,$

KA = KT = KD = KF = TD = r

. Ας είναι δε

η προβολή του

στην

.

: Ισοσκελές με γωνία 120.png (52.06 KiB) Προβλήθηκε 2716 φορές

Από το $\vartriangle PFC$ προκύπτει : $FP = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PC = \sqrt 3 \Rightarrow AP = y - \sqrt 3$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ , $AP = \dfrac{x}{{\sqrt 3 }}$ .

Η τελευταία λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει : AP = r

. Επειδή

στο τετράπλευρο AKFP

θα είναι:

$FK = KA = AP = r\,,\,\,FP = 1\,\,\kappa \alpha \iota$ οι γωνίες του στα $P\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F$ ορθές . Δηλαδή AP = //KF

,

Άρα είναι παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες συνεπώς ορθογώνιο με διαδοχικές πλευρές ίσες.

Δηλαδή το AKFP

είναι τετράγωνο πλευράς μήκους

. Τώρα από το $\vartriangle DFT$ έχω : $\boxed{x = \sqrt 3 }$

Ισοσκελές με γωνία 120

Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Re: Ισοσκελές με γωνία 120

Μέλη σε σύνδεση