Σελίδα 1 από 2

ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 12:53 pm
από rek2
Ο Leo Giugiuc κοινοποίησε τη φωτογραφία του χρήστη Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.

http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/ ... tras.shtml

Happy New Year !
Here is the Koutras theorem (a Greek mathematician),along three proofs .
The result is amazing .
The article is due to the professor Alexander Bogomolny .

Αυτά είναι καλά νέα!

Στάθη, συγχαρητήρια!

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 1:10 pm
από george visvikis
Συγχαρητήρια Στάθη! Πάντα τέτοια!

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 1:17 pm
από S.E.Louridas
Αναμενόμενο για τον ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ Κούτρα Στάθη, ήταν θέμα χρόνου. Από ότι έμαθα συνδυάστηκε άριστα με τον ερχομό του νεώτερου μέλους της οικογένειας. Εύχομαι λοιπόν στον Στάθη συνέχιση στην προσφορά με Υγεία σε αυτόν και τους Ανθρώπους του.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 7:00 pm
από ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ
ΠΟΛΛΑ ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ , στον Άριστο Γεωμέτρη ΣΤΑΘΗ ΚΟΥΤΡΑ, που είμαι σίγουρος ότι έχει πολλά ακόμα να μας δώσει.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 7:22 pm
από Doloros
Στάθη Χρόνια πολλά και πάλι. Συγχαρητήρια και εις ανώτερα . :clap2: :clap2:


Νίκος

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 7:46 pm
από cretanman
Μπράβο Στάθη!! Χαίρομαι ιδιαίτερα για την αναγνώρισή σου αυτή!

Αλέξανδρος

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 8:21 pm
από Mihalis_Lambrou
Πολύ όμορφο το αποτέλεσμα. :clap2:

Οι αποδείξεις που δίνει το cut-the-knot είναι πολύ πολύπλοκες. Δίνω μία απλή.

Ευθύ, Σχ.1 Από τα όμοια κίτρινα ορθογώνια τρίγωνα έχουμε \dfrac {a}{h} = \dfrac {f}{c} . Αντίστοιχα από τα πράσινα είναι \dfrac {h}{b} = \dfrac {e}{f} . Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη είναι \dfrac {a}{b} = \dfrac {e}{c} . Για παρόμοιo λόγο \dfrac {a}{b} = \dfrac {z}{d} . Άρα

\dfrac {a}{b} = \dfrac {e}{c}=\dfrac {z}{d} = \dfrac {z-e}{d-e}= \dfrac {p}{q} , όπως θέλαμε.

Αντίστροφα, Σχ.2 Φέρνουμε από το A την κάθετο AB' στην MN. Από την υπόθεση και το ευθύ είναι \dfrac {a}{b} =  \dfrac {p}{q} = \dfrac {a}{b'}

οπότε b=b' και άρα τα B, B' συμπίπτουν. Και λοιπά.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 9:30 pm
από KARKAR
Στάθη , συγχαρητήρια :clap2: Σ' έναν τέτοιο σπουδαίο εραστή της Ευκλείδειας Γεωμετρίας , ταιριάζει

απόλυτα αυτή η τιμή . Μάλιστα το θεώρημα έχει ποικίλες εφαρμογές , οπότε θα είναι πάντα επίκαιρο ....

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 10:17 pm
από S.E.Louridas
Ας μου επιτραπεί και εμένα μία αποδεικτική προσέγγιση.
Ευθύ:
Αν συμβαίνουν τα του σχήματος, τότε αρκεί OT \bot AB. Τα τρίγωνα OAB και OA_1B_1 είναι ίσα, οπότε αν Q \equiv TO \cap AB παίρνουμε \angle BOQ + \angle QBO = \angle {A_1}OT + \angle O{B_1}{A_1} = \angle {A_1}OT + \angle OT{A_1} = \frac{\pi }{2}.
Αντίστροφο:
Θεωρούμε OA = O{A_1}, όπως βλέπουμε στο σχήμα και από το A θεωρούμε κάθετη στην OT, που τέμνει την A_1O στο B^’. Τότε άμεσα παίρνουμε την ισότητα των τριγώνων OAB^’ και OA_1B_1, άρα και το ζητούμενο.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 10:55 pm
από KDORTSI
Στάθη, συγχαρητήρια! Χαίρομαι για την αναγνώριση αυτή και
εύχομαι να είσαι πάντα ακμαίος στο νού και στο σώμα και να
προσφέρεις σε όλους μας τους καρπούς των προσπαθειών σου.

Με εκτίμηση στο πρόσωπό σου, σου εύχομαι
Καλή χρονιά.

Κώστας Δόρτσιος
Γρεβενά.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 11:02 pm
από ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ
Πολύ μεγάλη διάκριση την οποία αξίζει ο Στάθης...
Μέσα στο μυαλό του έχει τις λύσεις χιλιάδων θεμάτων...
Και όλα αυτά χάρη στο mathematica...
Στάθη μου σε ευχαριστούμε για όσα μας έδωσες τα χρόνια που είσαι μέλος του forum...
Ήταν όλα πολύτιμα και όμορφα!!!
Να μας είσαι πάντα καλά για να μας δίνεις τις ιδέες σου , θέματα και λύσεις.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 11:05 pm
από Andreas Panteris
Θερμά συγχαρητήρια Στάθη.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιαν 01, 2017 11:51 pm
από vittasko
Καλή χρονιά σε όλους με υγεία. Πράγματι, καλά νέα από την αλλοδαπή.

Ο Μιχάλης πιο πάνω, μας χάρισε μία όμορφη απόδειξη για ένα όμορφο αποτέλεσμα ( δεν βλάπτεται η γενικότητα, επειδή η ευθεία MN περνάει από το σημείο O ), πρόσθετο κριτήριο καθετότητας από αυτά που υπάρχουν στην ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, αλλά απ' ότι φαίνεται όχι ευρέως γνωστό και έξω, αν κρίνουμε από την δημοσίευση του Alexander Bogomolny στο Cut The Knot ( ... curious criterion for perpendicularity of two lines ).

Ο Στάθης σκαρφίστηκε αυτό το κριτήριο καθετότητας και το ανέδειξε ως θεώρημα, λύνοντας αρκετά προβλήματα εδώ στο :logo: , δύσκολα κάποια από αυτά, ως απλές εφαρμογές του και αξίζει να πούμε ότι η Ιστορία αυτού του θεωρήματος ξεκινά από Εδώ, όπου εμφανίζεται για πρωτη φορά στο φόρουμ και για πρώτη φορά Εδώ αναφέρεται ως Θεώρημα Κούτρα.

Μεγάλη τιμή να είσαι ο νονός ενός θεωρήματος του οποίου ο πατέρας είναι αδελφικός σου φίλος και έχω πει με άλλη ευκαιρία, ότι ο Στάθης ως μέλος της Dream Team Γεωμετρίας εδώ στο :logo: , έχει πολλά να δώσει ακόμα. Του εύχομαι ολόψυχα να είναι γερός και παραγωγικός σε νέες ιδέες στην Γεωμετρία.

Με αγάπη και σεβασμό, Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Με την ευκαιρία αυτή θέλω να συγχαρώ τον Παναγιώτη Χρονόπουλο, που με δική του πρωτοβουλία γνωστοποιήθηκε σε ξένους αναγνώστες αυτό το κριτήριο καθετότητας και γίνεται ευρύτερα γνωστό ως Θεώρημα Κούτρα, κάτι που μας τιμά όλους.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 6:57 am
από taratoris

Συγχαρητήρια στον κύριο Κούτρα! :clap2:

Παραθέτω μία ακόμη λύση.

Έστω οτι MN κάθετη με την AB. Έστω L,S τα σημεία τομής της MN με τις AO,OB αντίστοιχα.

Τότε \frac{SE}{EZ}=\frac{SM}{MN} και \frac{LM}{MN}=\frac{LC}{CD} λόγω παραλληλίας.

Συνεπώς \frac{EZ}{CD}=\frac{SE*LM}{SM*LC} (1)

Απο εγγράψιμα KMEB,CMAK έχουμε SK*SM=SB*SE και LM*LK=LC*LA. Άρα η (1) γίνεται \frac{EZ}{CD}=\frac{SK*LA}{SB*LK}

Aπο θεώρημα Μενελάου στο OLS με τέμνουσα ABK έχουμε \frac{OA*LK*SB}{LA*SK*BO}=1 άρα \frac{OA*CD}{OB*EZ}=1 που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 8:08 am
από Μιχάλης Νάννος
Καλημέρα και καλή χρονιά σε όλους!

Φίλε και μέγιστε Γεωμέτρη Στάθη, απλά :notworthy: :clap2: :clap2: :clap2:

:clap: και στον Τάκη

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 9:12 am
από fmak65
Συγχαρητήρια και από μένα στον Στάθη για το θεώρημα του. Αναμενόμενο για άτομα που ασχολούνται με πιο προχωρημένα θέματα. Συγχαρητήρια και για το νέο μέλος της οικογένειας, εύχομαι κυρίως υγεία και να πω ότι μου έλειψε το τετράδιο που λύναμε ασκήσεις μετά από έξοδο για κρασάκι.

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 11:29 am
από Tolaso J Kos
:clap2: :clap2:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 12:02 pm
από m.pαpαgrigorakis
Στάθη θερμά συγχαρητήρια!

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 2:11 pm
από apotin
Συγχαρητήρια, Στάθη :clap2:

Re: ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΟΥΤΡΑ

Δημοσιεύτηκε: Δευ Ιαν 02, 2017 10:18 pm
από AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ
Στάθη! Καλή Χρονιά και πάντα τέτοια! :clap2:
Μας κάνεις περήφανους!