Κανονικό επτάγωνο

#1

Σε κανονικό επτάγωνο ABCDEZH

να δείξετε ότι: $\displaystyle \frac{{A{D^3}}}{{A{C^3}}} = \frac{{AC + 2AD}}{{AB + AD}}$

#2

Μια απόδειξη στην οποία παραλείπονται οι πράξεις και περιέχονται μόνο τα βασικά βήματα.

Ας ονομάσουμε $\displaystyle{AC=x,AD=y}$ και ας υποθέσουμε ότι $\displaystyle{AB=1.}$

Εύκολα βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\color{blue}\boxed{x=2\sin \frac{5\pi}{14}}}$

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο $\displaystyle{ACDE}$ βρίσκουμε ότι $\displaystyle{x+y=xy.}$ ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ )

Η αποδεικτέα γράφεται $\displaystyle{\left(\frac{x}{y}\right)^3=\frac{1+y}{x+2y}}$ που λόγω της ( $\displaystyle{\color{red}\spadesuit}$ ) γίνεται, μετά τις πράξεις,

$\displaystyle{x^3-x^2-2x+1=0.}$

Εκτελώντας αποκυβισμό και αποτετραγωνισμό έχουμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{14}-\sin \frac{3\pi}{14}+\sin \frac{5\pi}{14}=\frac{1}{2}.}$

Αυτή γράφεται και ως

$\displaystyle{\sin \frac{\pi}{14}+\sin \frac{9\pi}{14}+\sin \frac{17\pi}{14}=\frac{1}{2}.}$

Πλέον, η διαδικασία είναι στάνταρ. Πολλαπλασιάζουμε τα μέλη αυτής επί $\displaystyle{2\sin \frac{4\pi}{14}}$ και το αριστερό μέλος γίνεται τηλεσκοπικό άθροισμα.

#3

Αλλιώς. Θα χρησιμοποιήσω ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει η ισοδυναμία: $\displaystyle \widehat B = 2\widehat A \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} + ac$

: Κανονικό επτάγωνο.png (15.08 KiB) Προβλήθηκε 1590 φορές

Θέτω

και η αποδεικτέα σχέση γράφεται: $\displaystyle \frac{{{c^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{b + 2c}}{{a + c}}$

Από τις σχέσεις των γωνιών του τριγώνου ADC

έχω

και

και από Πτολεμαίο στο ADEH:

και με πρόσθεση κατά μέλη των τριών σχέσεων, $\boxed{bc=ac+ab}$ (1)

$\displaystyle \frac{{{c^3}}}{{{b^3}}} = \frac{{{b^2}c + abc}}{{{a^2}b + abc}} = \frac{{bc + ac}}{{a(a + c)}}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{2ac + ab}}{{a(a + c)}} = \frac{{b + 2c}}{{a + c}}$

Κανονικό επτάγωνο

Κανονικό επτάγωνο

Re: Κανονικό επτάγωνο

Re: Κανονικό επτάγωνο

Μέλη σε σύνδεση