γενίκευση
Συντονιστής: polysot
γενίκευση
Στο εσωτερικό γωνίας θεωρούμε σημείο
Μεταβλητή ευθεία διέρχεται από το και τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία
Να βρεθεί η θέση της ευθείας στην οποία το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο.
Ομοίως, αν το σημείο αντικατασταθεί από κύκλο κέντρου και η ευθεία από εφαπτομένη του κύκλου.
Και απαντήσαμε εδώ: viewtopic.php?f=62&t=65893
Μεταβλητή ευθεία διέρχεται από το και τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα σημεία
Να βρεθεί η θέση της ευθείας στην οποία το εμβαδόν του τριγώνου γίνεται ελάχιστο.
Ομοίως, αν το σημείο αντικατασταθεί από κύκλο κέντρου και η ευθεία από εφαπτομένη του κύκλου.
Και απαντήσαμε εδώ: viewtopic.php?f=62&t=65893
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Λέξεις Κλειδιά:
Re: γενίκευση
Θέλω το ελάχιστο του : . Τα τρίγωνα είναι όμοια και από : , παίρνω : .
Είναι : ,
για , συνεπώς , δηλαδή το πρέπει να είναι το μέσο της .
Το θέμα είναι βέβαιο ότι έχει ξανατεθεί στο forum .
Re: γενίκευση
Και έχει συζητηθεί στο και ήταν θέμα εισαγωγικών εξετάσεων ( Ακαδημαϊκό απολυτήριο 1965)KARKAR έγραψε: ↑Σάβ Ιαν 04, 2020 10:41 amΓενίκευση.png Για το βασικό ερώτημα : Σχηματίζω το παραλληλόγραμμο , το οποίο έχει σταθερό εμβαδόν .
Θέλω το ελάχιστο του : . Τα τρίγωνα είναι όμοια και από : , παίρνω : .
Είναι : ,
για , συνεπώς , δηλαδή το πρέπει να είναι το μέσο της .
Το θέμα είναι βέβαιο ότι έχει ξανατεθεί στο forum .
Αλλά απαιτούσε τότε αμιγώς γεωμετρική λύση .
Πάντως η πιο πάνω λύση είναι αρκετά όμορφη.
Υπάρχει παρόμοιο θέμα που είχε τεθεί πιο παλιά ακόμα στη Σ.Μ.Α.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: γενίκευση
Για το πρώτο ερώτημα: Κατασκευή: Έστω η προβολή του στην (*) και το αντιδιαμετρικό του ως προς τον κύκλο
Από το φέρνω ευθεία που τέμνει την στο Η που τέμνει την στο είναι η ζητούμενη ευθεία.
Απόδειξη: Μία άλλη ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις στα αντίστοιχα και την στο
(*) H κατασκευή γίνεται και για οποιοδήποτε σημείο της και το συμμετρικό του ως προς
Από το φέρνω ευθεία που τέμνει την στο Η που τέμνει την στο είναι η ζητούμενη ευθεία.
Απόδειξη: Μία άλλη ευθεία που διέρχεται από το τέμνει τις στα αντίστοιχα και την στο
(*) H κατασκευή γίνεται και για οποιοδήποτε σημείο της και το συμμετρικό του ως προς
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Ιαν 04, 2020 1:28 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: γενίκευση
Ιδού και μία λύση από τον Σωτήρη Λουρίδα εδώ ,
καθώς και μία δεύτερη από τον ...KARKAR , εκεί .
Βισβίκης και Λάμπρου . επίσης here .
Ψάχνοντας βρήκα τουλάχιστον άλλες 5 αναρτήσεις του θέματος !
καθώς και μία δεύτερη από τον ...KARKAR , εκεί .
Βισβίκης και Λάμπρου . επίσης here .
Ψάχνοντας βρήκα τουλάχιστον άλλες 5 αναρτήσεις του θέματος !
Re: γενίκευση
Το ενδιαφέρον, βέβαια, είναι η συνέχεια του ερωτήματος, όταν η ευθεία εφάπτεται σε κύκλο...
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: γενίκευση
Μπορεί να γίνει πιο σαφές το ερώτημα;Ο κύκλος εφάπτεται σε κάποια πλευρά της γωνίας ή βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο εσωτερικό της γωνίας;
Re: γενίκευση
Η εικασία είναι ασφαλώς , ότι αυτό θα συμβεί αν το σημείο επαφής είναι το μέσο του .
Στο σχήμα φαίνεται το ελάχιστο του , άρα αρκεί να ελαχιστοποιήσουμε το ...
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15762
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: γενίκευση
Το αρχικό ερώτημα είχε πέσει στις εισαγωγικές κάπου την δεκαετία του '60. Την θυμάμαι γιατί κυκλοφορούσε στα μαθητικά μου χρόνια ως καλή άσκηση, και με είχε απασχολήσει/παιδέψει αρκετά στα πρώτα τότε βηματά μου. Είχα δώσει διάφορες λύσεις από τις οποίες μου έμεινε η καλύτερη:
Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο (δηλαδή προεκτείνουμε την κατά και φέρνουμε παράλληλλες από το προς τις δοθείσες ευθείες). Η άλλη διαγώνιος του πραλληλογράμμου είναι η ζητούμενη. Πράγματι, για τυχαία από το είναι . τα υπόλοιπα έπονται.
.
Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο (δηλαδή προεκτείνουμε την κατά και φέρνουμε παράλληλλες από το προς τις δοθείσες ευθείες). Η άλλη διαγώνιος του πραλληλογράμμου είναι η ζητούμενη. Πράγματι, για τυχαία από το είναι . τα υπόλοιπα έπονται.
.
- Συνημμένα
-
- elahisto eisagogikes.png (6.92 KiB) Προβλήθηκε 1722 φορές
Re: γενίκευση
επαφής είναι το μέσο της , δημιουργεί το τρίγωνο ελαχίστου εμβαδού .
Έστω σημείο του . Η εφαπτόμενη στον κύκλο : ,
τέμνει την στο σημείο . Τώρα έχουμε* :
Η μελέτη της συνάρτησης δίνει , για . Αλλά τότε είναι
και εύκολα βλέπουμε ότι το σημείο επαφής , είναι το μέσο του .
* Παραλείψαμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης , πάντως ούτως ή άλλως πρέπει ( χωρίς να αρκεί ) :
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: γενίκευση
Με αφορμή τις παραπομπές του Θανάση, συμπλήρωσα (ΕΔΩ) μια λύση που είχα αφήσει ημιτελή για 9 χρόνια και δυο μέρες...
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: γενίκευση
Και με την ευκαιρία, μια ακόμα λύση με άρωμα Άλγεβρας (βασικά τριωνυμίτιδας) του περασμένου αιώνα. Ξεκινώ όπως ο Θανάσης στη παραπάνω λύση του. Του υπεξαιρώ και το σχήμα. (Φαντάζομαι μού το επιτρέπει, αφού 9 χρόνια και κάτι μέρες δεν έχει διαμαρτυρηθεί...).
Από την ομοιότητα των είναι
(1)
Έστω , με θετικές σταθερές και .
Τότε η (1) γίνεται .
Πρέπει η (2) να έχει λύση, οπότε πρέπει
.
Η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με . Τότε , που συμβαίνει όταν το είναι μέσο του .
Από την ομοιότητα των είναι
(1)
Έστω , με θετικές σταθερές και .
Τότε η (1) γίνεται .
Πρέπει η (2) να έχει λύση, οπότε πρέπει
.
Η ελάχιστη τιμή του εμβαδού είναι ίση με . Τότε , που συμβαίνει όταν το είναι μέσο του .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης