Πάππος;;

#1

Πλευρές $AB, \Delta \Gamma$ του τραπεζίου $A\Delta \Gamma B$ τέμνονται στο

Το

είναι τυχαίο σημείο της $B\Gamma$ και το

της

.

Οι $AE, I\Delta$ τέμνονται στο

και η

τέμνει την $\Delta \Gamma$ στο

Να αποδειχτεί ότι η

είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

: 11.png (33.99 KiB) Προβλήθηκε 2118 φορές

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm
Πλευρές $AB, \Delta \Gamma$ του τραπεζίου $A\Delta \Gamma B$ τέμνονται στο

Το είναι τυχαίο σημείο της $B\Gamma$ και το της .

Οι $AE, I\Delta$ τέμνονται στο και η τέμνει την $\Delta \Gamma$ στο

Να αποδειχτεί ότι η είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

11.png

Ναι είναι ο Πάππος για τις τα $\rm (O,H,\Delta),(Z,A,E)$ γιατί από αυτόν προκύπτει πως τα $\rm OA\cap HZ\equiv B,HE\cap \Delta E,OE\cap \Delta Z\equiv I$ είναι συνευθειακά δηλαδή ότι οι $\rm B\Gamma,EH,A\Delta$ συντρέχουν .Αφού το κοινό σημείο των $\rm A\Delta,B\Gamma$ είναι στο άπειρο το ζητούμενο έπεται.

#3

Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700

: 14.png (28.95 KiB) Προβλήθηκε 2070 φορές

miltosk · #4

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 10:20 am
Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700

14.png

Για να προσπαθήσω να δω αν το κατάλαβα (έχω δει λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι την κατάλαβα).
Έστω $P_\infty$ το σημείο τομής των AB,CD

στο άπειρο και $Q_\infty$ το σημείο τομής των AD,BC

στο άπειρο.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες $(K,L,Q_\infty )$ και $(M,N,P_\infty )$ έχω

το σημείο τομής των KM,NL

,

το σημείο τομής των $Q_\infty N,P_\infty K$ και

το σημείο τομής των $Q_\infty M,P_\infty L$ και καταλήγω στο D, B, O

συνευθειακά που είναι και το ζητούμενο.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον. Πρέπει να επισημάνω ότι ο Πρόδρομος με βοήθησε με προσωπικό μήνυμα εδώ οπότε τον ευχαριστώ και δημόσια.

#5

miltosk έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 9:59 pm

rek2 έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 12, 2020 10:20 am
Σωστός ο Πρόδρομος!

Ας δούμε και την επόμενη, αρκετά γνωστή εδώ, ώστε να βοηθήσουμε τον φίλο μας στον σύνδεσμο: https://mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=40&t=66700

14.png
Για να προσπαθήσω να δω αν το κατάλαβα (έχω δει λύση αλλά δεν είμαι σίγουρος ότι την κατάλαβα).
Έστω $P_\infty$ το σημείο τομής των στο άπειρο και $Q_\infty$ το σημείο τομής των στο άπειρο.
Εφαρμόζοντας το θεώρημα του Πάππου για τις τριάδες $(K,L,Q_\infty )$ και $(M,N,P_\infty )$ έχω το σημείο τομής των , το σημείο τομής των $Q_\infty N,P_\infty K$ και το σημείο τομής των $Q_\infty M,P_\infty L$ και καταλήγω στο συνευθειακά που είναι και το ζητούμενο.
Ευχαριστώ για το ενδιαφέρον. Πρέπει να επισημάνω ότι ο Πρόδρομος με βοήθησε με προσωπικό μήνυμα εδώ οπότε τον ευχαριστώ και δημόσια.

Χαρά μας, αν βοηθήσαμε!

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #6

rek2 έγραψε: ↑
Σάβ Απρ 11, 2020 11:31 pm
Πλευρές $AB, \Delta \Gamma$ του τραπεζίου $A\Delta \Gamma B$ τέμνονται στο

Το είναι τυχαίο σημείο της $B\Gamma$ και το της .

Οι $AE, I\Delta$ τέμνονται στο και η τέμνει την $\Delta \Gamma$ στο

Να αποδειχτεί ότι η είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

11.png

Μία ακόμη λύση για αυτό,χωρίς Πάππο.
Έστω $\rm p$ το επίπεδο του τραπεζίου του σχήματος.Με μία κεντρική προβολή (στο σχήμα η κεντρική προβολή έχει κέντρο

,δεν έχει σχέση με την τομή των

,

)όπως την κατασκευή στο σχήμα στο σχήμα μπορώ να επεικονίσω σε τετράγωνο $\rm A'B'C'D'$ σε επίπεδο $\rm p'$ το $\rm ABCD$ .

: 313.PNG (32.09 KiB) Προβλήθηκε 1802 φορές

Τα $\rm I',Z',E'$ είναι οι εικόνες των $\rm I,Z,E$ αντίστοιχα.Αν $\rm X\equiv B'Z'\cap C'D',Q\equiv A'E'\cap B'C'$ αρκεί $\rm \dfrac{E'X}{B'Q}=\dfrac{E'Z'}{Z'Q}\Leftrightarrow \dfrac{I'C'}{B'Q}=\dfrac{I'E'\sin \angle D'I'E'}{I'Q\sin \angle D'I'C'}=\dfrac{I'E'\cdot I'C'}{I'Q\cdot B'C'}$ το οποίο προκύπτει από την ομοιότητα των $\rm A'B'Q,I'E'Q$

: 314.PNG (10.83 KiB) Προβλήθηκε 1802 φορές

Πάππος;;

Πάππος;;

Re: Πάππος;;

Re: Πάππος;;

Re: Πάππος;;

Re: Πάππος;;

Re: Πάππος;;

Μέλη σε σύνδεση