Παραβολή-ανακλαστική ιδιότητα

[rek2]

Να αποδειχτεί ότι το συμμετρικό της εστίας μιας παραβολής, ως προς μια εφαπτομένη της, συμπίπτει με την προβολή του σημείου επαφής στην διευθετούσα της.

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Να αποδειχτεί ότι το συμμετρικό της εστίας μιας παραβολής, ως προς μια εφαπτομένη της, συμπίπτει με την προβολή του σημείου επαφής στην διευθετούσα της.

Προφανώς θέλουμε λύση με Γεωμετρία.
Και να μην θέλαμε τέτοια θα εκανα γιατί είναι πιο σύντομη.
Θα χρησιμοποιήσω το
Μια ευθεία που δεν είναι παράλληλη στον άξονα συμμετρίας της παραβολής εφάπτεται αυτής αν και μόνο αν έχει μοναδικό κοινό σημείο με αυτήν.

Εστω η εστία σημείο της παραβολής και η προβολή στην διευθετούσα.
Από τον όρισμο της παραβολής είναι
θα δείξω ότι η μεσοκάθετος του είναι η εφαπτομένη και το αποτέλεσμα είναι άμεσο.
Θεωρώ σημείο της μεσοκαθέτου διαφορετικό του
Εστω η προβολή του στην διευθετούσα.
Είναι λόγω ορθογωνίου τριγώνου
Αρα το σημείο δεν βρίσκεται στην παραβολή και τελειώσαμε.

Συμπλήρωμα.Εκανα διόρθωση στα μπλέ

[Άρης Αεράκης]

Μια λίγο διαφορετική λύση αν θεωρήσουμε δεδομένη την ανακλαστική ιδιότητα του σχολικού βιβλίου:

Το τρίγωνο με κορυφές την εστία , το σημείο επαφής και την προβολή του σημείου επαφής στη διευθετούσα είναι ισοσκελές από τον ορισμό της παραβολής και η εφαπτομένη είναι διχοτόμος της γωνίας της κορυφής (προκύπτει από τη γνωστή ανακλαστική ιδιότητα που έχει και το σχολικό βιβλίο) άρα και μεσοκάθετος της βάσης και άρα και άξονας συμμετρίας οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Σχόλιο 1

Κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα συμμετρίας μιας παραβολής έχει ένα μόνο κοινό σημείο με αυτή χωρίς να είναι εφαπτομένη.

Σχόλιο 2

Η συγκεκριμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να κατασκευάσουμε την εφαπτομένη σε δοσμένο σημείο μιας παραβολής. Συγκεκριμένα βρίσκουμε την προβολή του δοσμένου σημείου στη διευθετούσα και η μεσοκάθετος του τμήματος με άκρα την προβολή αυτή και την εστία είναι η ζητούμενη εφαπτομένη

Σχόλιο 3

Η συγκεκριμένη πρόταση μας δίνει τρόπο εντοπισμού σημείων της παραβολής όταν δίνεται η εστία Ε και η διευθετούσα δ. Συγκεκριμένα αν πάρουμε τυχαίο σημείο Α στη διευθετούσα τότε το σημείο τομής Μ της καθέτου της δ στο Α και της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΕ είναι σημείο της παραβολής.
Παίρνοντας και άλλα σημεία πάνω στη διευθετούσα και ακολουθώντας την ίδια διαδικασία βρίσκουμε όσα σημεία της παραβολής θέλουμε και έτσι μπορούμε ενώνοντάς τα να τη σχεδιάσουμε.