Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Συντονιστής: polysot
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13336
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Είναι φως φανάρι (ΦΩΝΑΖΕΙ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΕΣΜΗ )george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pmΦιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Για όσους δεν γνωρίζουν αρμονικές δέσμες (μικροί μαθητές που μπορεί να μας βλέπουν) , υπάρχει και πιο κάτω λύση:george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pmΦιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)
Επομένως
H είναι η πολική του ως προς τον εν λόγω κύκλο και επειδή συνευθειακά, έπεται ότι το τετράπλευρο είναι αρμονικό.
Επομένως
Από μέσο .
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό , η είναι (η από το )george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pmΦιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
συμμετροδιάμεσος στο και η δέσμη : αρμονική . Επειδή η ευθεία είναι παράλληλη στην ακτίνα της δέσμης, θα τέμνει τις τρεις
άλλες ακτίνες : σε τρία σημεία , με το μέσο του .
Δείτε σχετικά στις σελίδες του βιβλίου : «Διαγωνισμοί στα μαθηματικά , τόμος 1ος» των :
Α, Μάγκου ,Β. Μουρούκου , Χ. Στεργίου ,Α. Συγγελάκη , Δ. Χριστοφίδη
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Καλημέρα! Υποβάλλω στην ουσία την προσέγγιση του Κώστα (#3)
με χρήση της ύλης του σχολικού βιβλίου, ώστε να είναι κατανοητή σε περισσότερους από μας..
Έχουμε (Από Ν. ημιτόνων στο τρίγωνο ).
Μένει να δείξουμε ότι
Οι γωνίες είναι ίσες (βαίνουν στο ίδιο τόξο , χορδής-εφαπτομένης με εγγεγραμμένη, εντός εναλλάξ).
Άρα το (*) , είναι εγγράψιμο με
Η αποδεικτέα λοιπόν σχέση γίνεται . (Ιδιότητα του αρμονικού τετραπλευρου )
Έχουμε . Όμως
και ομοίως
αφού και ,
με χρήση του Ν. ημιτόνων στα τρίγωνα και
Από προκύπτουν ανάδρομα και οι συνεπώς
και τελικά δηλ. το ζητούμενο! Φιλικά, Γιώργος.
* Κώστα, τα γράμματα να μην τα βάζεις και τα τρία μ' αυτή τη σειρά , για να τα δεχθεί!..
με χρήση της ύλης του σχολικού βιβλίου, ώστε να είναι κατανοητή σε περισσότερους από μας..
Για να δείξουμε ότι αρκεί να ισχύει .george visvikis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pmΑπό σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
Έχουμε (Από Ν. ημιτόνων στο τρίγωνο ).
Μένει να δείξουμε ότι
Οι γωνίες είναι ίσες (βαίνουν στο ίδιο τόξο , χορδής-εφαπτομένης με εγγεγραμμένη, εντός εναλλάξ).
Άρα το (*) , είναι εγγράψιμο με
Η αποδεικτέα λοιπόν σχέση γίνεται . (Ιδιότητα του αρμονικού τετραπλευρου )
Έχουμε . Όμως
και ομοίως
αφού και ,
με χρήση του Ν. ημιτόνων στα τρίγωνα και
Από προκύπτουν ανάδρομα και οι συνεπώς
και τελικά δηλ. το ζητούμενο! Φιλικά, Γιώργος.
* Κώστα, τα γράμματα να μην τα βάζεις και τα τρία μ' αυτή τη σειρά , για να τα δεχθεί!..
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Τρί Απρ 25, 2023 12:37 amΚαλημέρα! Υποβάλλω στην ουσία την προσέγγιση του Κώστα (#3)
* Κώστα, τα γράμματα να μην τα βάζεις και τα τρία μ' αυτή τη σειρά , για να τα δεχθεί!..
Γιώργο, δεν είμαι σίγουρος ότι κατάλαβα τι εννοείς.
Φιλικά , Κώστας
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Καλό βράδυ!
Αν βάλουμε με γραφή TeX συνεχόμενα τα DEF εμφανίζει αυτό: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Υπέθεσα ότι λόγω αυτής της δυσκολίας το άφησες (είναι το μόνο) εκτός γραφής latex..
Μπορείς να ενεργοποιήσεις και τα προσωπικά μηνύματα.. Φιλικά, Γιώργος.
ΚώσταHenri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:44 pm
Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)
Αν βάλουμε με γραφή TeX συνεχόμενα τα DEF εμφανίζει αυτό: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Υπέθεσα ότι λόγω αυτής της δυσκολίας το άφησες (είναι το μόνο) εκτός γραφής latex..
Μπορείς να ενεργοποιήσεις και τα προσωπικά μηνύματα.. Φιλικά, Γιώργος.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13336
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Ευχαριστώ τον Κώστα, τον Νίκο και το Γιώργο για τις λύσεις τους. Η άσκηση είναι από μαθηματική Ολυμπιάδα
στις Φιλιππίνες και υπάρχει στοιχειώδης λύση χωρίς αρμονικότητες. Προτίθεμαι να την γράψω αν δεν δοθεί.
ΥΓ. Το DEF μπορεί να γραφεί και με αυτή τη σειρά, αν αφήσετε κενό ανάμεσα στο και στο
ή ανάμεσα στο και στο Και δια του λόγου το αληθές,
στις Φιλιππίνες και υπάρχει στοιχειώδης λύση χωρίς αρμονικότητες. Προτίθεμαι να την γράψω αν δεν δοθεί.
ΥΓ. Το DEF μπορεί να γραφεί και με αυτή τη σειρά, αν αφήσετε κενό ανάμεσα στο και στο
ή ανάμεσα στο και στο Και δια του λόγου το αληθές,
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Γιώργο, ακριβώς αυτός είναι ο λόγος που δεν το έγραψα σε latex. Τώρα κατάλαβα τι εννοείς λέγοντας: "για να τα δεχθεί"Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Τρί Απρ 25, 2023 10:08 pmΚαλό βράδυ!ΚώσταHenri van Aubel έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:44 pm
Έχουμε DEFC εγγράψιμο . (απλό με λίγο κυνήγι γωνιών)
Αν βάλουμε με γραφή TeX συνεχόμενα τα DEF εμφανίζει αυτό: [unparseable or potentially dangerous latex formula]
Υπέθεσα ότι λόγω αυτής της δυσκολίας το άφησες (είναι το μόνο) εκτός γραφής latex..
Μπορείς να ενεργοποιήσεις και τα προσωπικά μηνύματα.. Φιλικά, Γιώργος.
Τα προσωπικά μου μηνύματα δεν είναι ανοιχτά;
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13336
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Δίνω μία στοιχειώδη λύση, όπως υποσχέθηκα. Λόγω των εφαπτομένων τα τρίγωνα είναι όμοια καθώς επίσης και ταgeorge visvikis έγραψε: ↑Σάβ Απρ 22, 2023 1:19 pmΦιλιππινέζα.png
Από σημείο εκτός κύκλου φέρνω τα εφαπτόμενα τμήματα και έστω τυχόν σημείο του μικρού τόξου
Η επανατέμνει τον κύκλο στο και η παράλληλη από το στην τέμνει τις στα Να δείξετε
ότι το είναι το μέσο του
Εξάλλου από τη σχέση εγγεγραμμένης γωνίας και γωνίας χορδής-εφαπτομένης, αλλά και από την παραλληλία
προκύπτει ότι οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, όπως και οι πράσινες. Άρα το είναι εγγράψιμο,
οπότε και οι γαλάζιες γωνίες θα είναι ίσες. Από την ομοιότητα των τριγώνων είναι:
Αλλά και τα τρίγωνα είναι όμοια οπότε που αποδεικνύει το ζητούμενο.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Καλό απόγευμα!
Πολύ κομψή η ως άνω λύση Γιώργο και ευρέως κατανοητή!
Ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίσοι. Έχουμε και .
Με διαίρεση παίρνουμε , αφού όπως δείξαμε .
Άρα και τότε , ενώ
οπότε . Φιλικά, Γιώργος.
Πολύ κομψή η ως άνω λύση Γιώργο και ευρέως κατανοητή!
Ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίσοι. Έχουμε και .
Με διαίρεση παίρνουμε , αφού όπως δείξαμε .
Άρα και τότε , ενώ
οπότε . Φιλικά, Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 876
- Εγγραφή: Τρί Σεπ 13, 2022 12:01 pm
Re: Φιλιππινέζα διχοτομεί τμήμα
Ωραία σκέψη !!Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑Σάβ Απρ 29, 2023 7:04 pmΚαλό απόγευμα!
Πολύ κομψή η ως άνω λύση Γιώργο και ευρέως κατανοητή!
Ας δούμε και την ακόλουθη παραλλαγή
29-4 Φιλιππινέζα...png
Θα δείξουμε ότι οι κύκλοι των και είναι ίσοι. Έχουμε και .
Με διαίρεση παίρνουμε , αφού όπως δείξαμε .
Άρα και τότε , ενώ
οπότε . Φιλικά, Γιώργος.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης