Πηλίκο γινομένων πρώτων αριθμών

Συντονιστής: polysot

Nikos127
Δημοσιεύσεις: 16
Εγγραφή: Τετ Αύγ 07, 2019 1:40 pm

Πηλίκο γινομένων πρώτων αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nikos127 » Κυρ Αύγ 02, 2020 12:39 pm

Δεν έχω τη λύση στη συγκεκριμένη άσκηση.

Να δειχθεί ότι κάθε αριθμός q \in \mathbb{Q}^+ μπορει να γράφει ως πηλίκο γινομένων αριθμών της μορφής p! όπου p πρώτος. Για παράδειγμα
\frac{10}{9}=\frac{2! \times 5!}{3!\times 3! \times 3!}



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12311
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πηλίκο γινομένων πρώτων αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Αύγ 02, 2020 1:45 pm

Nikos127 έγραψε:
Κυρ Αύγ 02, 2020 12:39 pm
Δεν έχω τη λύση στη συγκεκριμένη άσκηση.

Να δειχθεί ότι κάθε αριθμός q \in \mathbb{Q}^+ μπορει να γράφει ως πηλίκο γινομένων αριθμών της μορφής p! όπου p πρώτος. Για παράδειγμα
\frac{10}{9}=\frac{2! \times 5!}{3!\times 3! \times 3!}
Είναι απλό οπότε ας δώσω μόνο υπόδειξη.

1) Αρκεί να το δείξεις μόνο για φυσικούς καθώς σε ένα τυχαίο κλάσμα \dfrac {m}{n}, τα m,n ως φυσικοί γράφονται στην δεδομένη μορφή.

2) Για τους φυσικούς εργαζόμαστε επαγωγικά (ισχυρή μορφή). Για το επαγωγική βήμα, αν όλοι οι φυσικοί \le N γράφονται στην ζητούμενη μορφή, θα δείξουμε το ίδιο για τον N+1. Πράγματι, αν N+1=p= πρώτος τότε \displaystyle{N+1= p=\dfrac {p!}{1\cdot 2\cdot ...\cdot (p-1)}, και εφάρμοσε την επαγωγική υπόθεση σε κάθε παράγοντα του παρανομαστή. Αν από τη άλλη ο N+1 δεν είναι πρώτος, τότε N+1=ab με a,b φυσικούς μικρότερους ή ίσους του N. Εφάρμοσε τώρα την επαγωγική υπόθεση στους a,b.

Nikos127 περιμένουμε εδώ να συμπληρώσεις τις λεπτομέρειες, αν και ουσιαστικά τα είπα όλα,

Για το τελευταίο που έγραψα ελπίζω να μην ενεργήσεις όπως εκεί και εκεί και εκεί και εκεί όπου η ερώτησή σου ήταν ελλειπής ή εσφαλμένη και παρά την έκκληση να διορθώσεις την ερώτηση, εσύ ... εξαφανίστηκες.

Αν θέλεις να απαντάμε στις ερωτήσεις σου, είναι αυτονόητο ότι πρέπει και εσύ με την σειρά σου να δείχνεις την απαιτούμενη ευγένεια.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θεωρία Αριθμών”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης