Είναι 13

#1

Χθες που επιτηρούσα σε διαγώνισμα σε δευτεροετείς και πάνω φοιτητές του Μαθηματικού
είδα στα θέματα μία ωραία και απλή ασκησούλα που μου τράβηξε την προσοχή:

Έστω $m {\color {red}>1}$ φυσικός αριθμός για τον οποίο υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε και .

Δείξτε ότι και βρείτε άπειρο πλήθος από με την εν λόγω ιδιότητα.

Δυστυχώς στα περίπου

πρώτα γραπτά που παραδόθηκαν, κανείς δεν την είχε λύσει. Ελπίζω στα υπόλοιπα να ήταν καλύτερη η κατάσταση. Εν γένει, έτσι είναι η κατάσταση γιατί συνήθως τα πρώτα γραπτά προέρχονται από αυτούς που δεν ήσαν διαβασμένοι. Τα προβιβάσιμα γραπτά έρχονται συνήθως προς το τέλος του ωραρίου. Άσε που η απάντηση m=13

είναι, το λέω για τους προληπτικούς, η σημερινή ημερομηνία.

Παρακαλώ να την αφήσουμε μια δυο μέρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Edit: Έκανα μικρή διόρθωση. Ευχαριστώ την Δημήτρη Χριστοφίδη για την επισήμανση.

JimNt. · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε:Χθες που επιτηρούσα σε διαγώνισμα σε δευτεροετείς και πάνω φοιτητές του Μαθηματικού
είδα στα θέματα μία ωραία και απλή ασκησούλα που μου τράβηξε την προσοχή:

Έστω φυσικός αριθμός για τον οποίο υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε και .

Δείξτε ότι και βρείτε άπειρο πλήθος από με την εν λόγω ιδιότητα.

Δυστυχώς στα περίπου πρώτα γραπτά που παραδόθηκαν, κανείς δεν την είχε λύσει. Ελπίζω στα υπόλοιπα να ήταν καλύτερη η κατάσταση. Εν γένει, έτσι είναι η κατάσταση γιατί συνήθως τα πρώτα γραπτά προέρχονται από αυτούς που δεν ήσαν διαβασμένοι. Τα προβιβάσιμα γραπτά έρχονται συνήθως προς το τέλος του ωραρίου. Άσε που η απάντηση είναι, το λέω για τους προληπτικούς, η σημερινή ημερομηνία.

Παρακαλώ να την αφήσουμε μια δυο μέρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Είναι

,

$\Leftrightarrow$ m|C=B-A=2n+1

$\Leftrightarrow$ m|C^2=4n^2+4n+1

. Από τις αρχικές έχουμε m|2n^2+6

,

.Πρέπει λοιπόν m|4n^2+4n+1-(2n^2+6+2n^2+4n+8)=-13

. Συνεπώς

$\Leftrightarrow$ m=1,13

. To b το βάζω σε λίγο..

#3

JimNt. έγραψε: Είναι , $\Leftrightarrow$ $\Leftrightarrow$ . Από τις αρχικές έχουμε , .Πρέπει λοιπόν . Συνεπώς $\Leftrightarrow$ . To b το βάζω σε λίγο..

JimNt. · #4

JimNt. έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:Χθες που επιτηρούσα σε διαγώνισμα σε δευτεροετείς και πάνω φοιτητές του Μαθηματικού
είδα στα θέματα μία ωραία και απλή ασκησούλα που μου τράβηξε την προσοχή:

Έστω φυσικός αριθμός για τον οποίο υπάρχει φυσικός τέτοιος ώστε και .

Δείξτε ότι και βρείτε άπειρο πλήθος από με την εν λόγω ιδιότητα.

Δυστυχώς στα περίπου πρώτα γραπτά που παραδόθηκαν, κανείς δεν την είχε λύσει. Ελπίζω στα υπόλοιπα να ήταν καλύτερη η κατάσταση. Εν γένει, έτσι είναι η κατάσταση γιατί συνήθως τα πρώτα γραπτά προέρχονται από αυτούς που δεν ήσαν διαβασμένοι. Τα προβιβάσιμα γραπτά έρχονται συνήθως προς το τέλος του ωραρίου. Άσε που η απάντηση είναι, το λέω για τους προληπτικούς, η σημερινή ημερομηνία.

Παρακαλώ να την αφήσουμε μια δυο μέρες για τους μικρούς μας μαθητές.

Είναι

,

$\Leftrightarrow$ m|C=B-A=2n+1

$\Leftrightarrow$ m|C^2=4n^2+4n+1

. Από τις αρχικές έχουμε m|2n^2+6

,

.Πρέπει λοιπόν m|4n^2+4n+1-(2n^2+6+2n^2+4n+8)=-13

. Συνεπώς

$\Leftrightarrow$ m=1,13

.
Πρέπει 2n+1=13f

$\Leftrightarrow$ $n=6f+\frac{f-1}{2}$ , όπου f=2a+1

, που είναι άπειροι σε πλήθος (αν αντικαταστήσουμε στις αρχικές σχέσεις βλέπουμε πως το

τις διαιρεί)

Είναι 13

Είναι 13

Re: Είναι 13

Re: Είναι 13

Re: Είναι 13

Μέλη σε σύνδεση