Piece of Cake!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #1

Με συνέχιση αυτής, βάζω κάτι παρόμοιο:

Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών (x,y)

για τα οποία ισχύει:

$\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}$

#2

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών για τα οποία ισχύει:

$\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}$

Υποθέτω ότι εννοείς "ακεραίους" γιατί αλλιώς λύνουμε ως προς

και η άσκηση δεν έχει ενδιαφέρον.

Για ακεραίους, με τον περιορισμό $y\ne 1$ , μετά από πολαπλασιασμό επί 9(1-y)

η δοθείσα γράφεται

$(3x+18y+4)(3x+2)=118 = 2 \cdot 59$

Άρα 3x+2

είναι ένας από τους $\pm1, \, \pm 2, \, \pm 59, \pm 118$ . Δίνουν τις ακέραιες τιμές
$x=-1, \, x=0, \, x=19, \, x=-40$ , και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Να βρείτε τα ζεύγη πραγματικών αριθμών για τα οποία ισχύει:

$\displaystyle{\frac{x^{2}+6xy+18+2x}{1-y}=4}$
Υποθέτω ότι εννοείς "ακεραίους" γιατί αλλιώς λύνουμε ως προς και η άσκηση δεν έχει ενδιαφέρον.

Για ακεραίους, με τον περιορισμό $y\ne 1$ , μετά από πολαπλασιασμό επί η δοθείσα γράφεται

$(3x+18y+4)(3x+2)=118 = 2 \cdot 59$

Άρα είναι ένας από τους $\pm1, \, \pm 2, \, \pm 59, \pm 118$ . Δίνουν τις ακέραιες τιμές
$x=-1, \, x=0, \, x=19, \, x=-40$ , και λοιπά (ρουτίνα από δω και πέρα).

Και με πραγματικούς το ίδιο (σχεδόν) είναι!

#4

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Και με ακεραίους το ίδιο (σχεδόν) είναι!

Ίσως χάνω κάτι.

Με ακεραίους το έκανα ήδη.

Αν επιτρέψουμε μη ακεραίους τότε, όπως ανέφερα παραπάνω, η άσκηση είναι είναι απόλυτα τετριμμένη: Απλά λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς

. Θα βρούμε τις λύσεις (x,y)

όπου

$y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4}$ , όπου $x\ne -4/6$ .

Κατερινόπουλος Νικόλας · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Ίσως χάνω κάτι.

Με ακεραίους το έκανα ήδη.

Αν επιτρέψουμε μη ακεραίους τότε, όπως ανέφερα παραπάνω, η άσκηση είναι είναι απόλυτα τετριμμένη: Απλά λύνουμε την πρωτοβάθμια ως προς . Θα βρούμε τις λύσεις όπου

$y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4}$ , όπου $x\ne -4/6$ .

Πραγματικούς εννοούσα!

#6

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Πραγματικούς εννοούσα!

'Οπως έγραψα και τεκμηρίωσα, για πραγματικούς η άσκηση είναι απόλυτη ρουτίνα.

Από που έβγαλες το συμπέρασμα ότι

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Και με ακεραίους το ίδιο (σχεδόν) είναι!

Αντιθέτως, το να βρεις μόνο τις ακέραιες τιμές του $y = - \frac {x^2+2x+14}{6x+4}$ έχει κάποια εργασία (την έκανα παραπάνω).

Κατερινόπουλος Νικόλας · #7

Τώρα που το ξανακοιτάζω, είναι λάθος η εκφώνηση. Αλλά έτσι κι αλλιώς είχατε δίκιο. Αφήστε το. Έπρεπε να έχω βάλει:

$x^{2}+6xy+12y+2x=4$

Τώρα, γράφω στους πραγματικούς γιατί το

είναι σε κάποιες λύσεις κλάσμα.

#8

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Τώρα που το ξανακοιτάζω, είναι λάθος η εκφώνηση.

Από που είναι η εκφώνηση για να δούμε και εμείς;

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε: Έπρεπε να έχω βάλει:

$x^{2}+6xy+12y+2x=4$

Τώρα, γράφω στους πραγματικούς γιατί το είναι σε κάποιες λύσεις κλάσμα.

Ούτε τώρα μπαλώνεται. Προφανώς δεν έγιναν κατανοητά αυτά που έγραφα, ότι δηλαδή στους πραγματικούς η άσκηση είναι τετριμμένη (και άρα ΔΕΝ κάνει για Ολυμπιάδες). Συγκεκριμένα, η εξίσωση είναι πρωτοβάθμια ως προς

(τόσο απλά) και λύνεται σε ένα άμεσο βήμα, $y = \frac {4-x^2-2x}{6x+12}, \, x \ne -2$ .

Το μόνο που θα είχε ενδιαφέρον είναι οι ακέραιες ρίζες. Στην νέα διατύπωση η άσκηση λύνεται γράφοντας την εξίσωση στην μορφή (x+2)(x+6y)=4

οπότε $x+2= \pm1$ ή $\pm 2$ ή $\pm 4$ και λοιπά.

Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.

Κατερινόπουλος Νικόλας · #9

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.

Την άσκηση εγώ την έφτιαξα. Εκεί που φτάσατε, (x+2)(x+6y)=4

προκύπτει μια λύση $y=-\dfrac{1}{6}$ . Γι' αυτό είπα πραγματικούς.

Αν είναι για πραγματικούςους, στην πρώτη λύση έχω το σύστημα:

$\left.\begin{matrix} x+2=4 \\ x+6y=1\;\; \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boxed{x=2}, \boxed{y=-\dfrac{1}{6}}$ που δεν είναι ακέραιος.

Πάντως, σας ευχαριστώ που μου διευκρινίζετε τα λάθη μου!

JimNt. · #10

Κατερινόπουλος Νικόλας έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Όπως και να είναι, περιμένω την πηγή της άσκησης.
Την άσκηση εγώ την έφτιαξα. Εκεί που φτάσατε, προκύπτει μια λύση $y=-\dfrac{1}{6}$ . Γι' αυτό είπα πραγματικούς.

Αν είναι για πραγματικούςους, στην πρώτη λύση έχω το σύστημα:

$\left.\begin{matrix} x+2=4 \\ x+6y=1\;\; \end{matrix}\right\} \Rightarrow \boxed{x=2}, \boxed{y=-\dfrac{1}{6}}$ που δεν είναι ακέραιος.

Πάντως, σας ευχαριστώ που μου διευκρινίζετε τα λάθη μου!

Δεν είναι σωστό... Πρόσεξε τι σου λέει ο κύριος Λάμπρου.... Γιατί π.χ να μην είναι x+2=1/2

,

. Αυτός ο τρόπος λύσης ισχύει μόνο αν x,y

ακέραιοι..

Κατερινόπουλος Νικόλας · #11

JimNt. έγραψε: Δεν είναι σωστό... Πρόσεξε τι σου λέει ο κύριος Λάμπρου.... Γιατί π.χ να μην είναι , . Αυτός ο τρόπος λύσης ισχύει μόνο αν ακέραιοι..

Όντως... Ευχαριστώ JimNt. για την παρατήρηση!

Piece of Cake!

Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Re: Piece of Cake!

Μέλη σε σύνδεση