Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

cool geometry · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού

που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\sqrt{n}+\sqrt{49n+80}$ να είναι φυσικός.

#2

cool geometry έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 11:14 am
Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\sqrt{n}+\sqrt{49n+80}$ να είναι φυσικός.

Η άσκηση είναι ουσιαστικά παραλλαγή της χθεσινής άσκησης 9, εδώ. Δεν βλέπω τι νέο προσφέρει από χθες, σήμερα.

Για να κλείνει.

Εχουμε για κάποιον φυσικό

ότι $\sqrt{49n+80}=N-\sqrt{n}$ , άρα $49n+80=N+n-2N\sqrt n$ . Έπεται ότι $\sqrt n$ ρητός, άρα n=k^2

για κάποιον φυσικό

. Όμοια

, oπότε

, δηλαδή $(m-2k)(m+2k)=80= 2^4\cdot 5$ . Ελέγχοντας τους διαιρέτες του

βρίσκουμε tα m, k

. Π.χ. η περίπτωση $m-2k=4,\, m+2k=20$ δίνει $k=4,\, m=12$ από όπου η λύση n=k^2=16

(ικανοποιεί). Όμοια ελέγχουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις (αν έκανα σωστά τις πράξεις, δεν αξίζει ο επανέλεγχος, δεν δίνουν άλλη λύση).

cool geometry · #3

Πολύ ωραία, αν και ήταν της πλάκας η άσκηση.
Η μόνη λύση είναι το

#4

cool geometry έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 15, 2022 11:14 am
Να βρείτε όλες τις τιμές του φυσικού αριθμού που είναι τέτοιες ώστε ο αριθμός $\sqrt{n}+\sqrt{49n+80}$ να είναι φυσικός.

Αλλιώς: Όπως πριν πρέπει οι προσθετέοι να είναι τέλεια τετράγωνα. Έστω n=k^2

. Για $1\le k \le 5$ ελέγχουμε με το χέρι ότι μόνο το k=4

δίνει λύση, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι $k\ge 6$ . Έχουμε τότε (7k)^2=49n < 49n+80 =49k^2+80 < 49k^2+14k+1=(7k+1)^2

.
Δηλαδή το 49n+80

είναι γνήσια μεταξύ των διαδοχικών τελείων τετραγώνων (7k)^2

και

, oπότε δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Άτοπο.

cool geometry · #5

Λίγο αλλιώς...
έστω $\sqrt{n}+\sqrt{49n+80}=k\Leftrightarrow 4n(49n+80)=(50n+80-k^{2})^{2},$ άρα ο

είναι τέλειο τετράγωνο φυσικού.
οπότε γράφουμε: $49n^{2}+80n-z^{2}=0\Leftrightarrow diakrinousa=6.400+14^{2}\cdot z^{2}=c^{2},$ άρα τελικά είναι:
$c^{2}-14^{2}z^{2}=6.400\Leftrightarrow (c+14z)(c-14z)=6.400$ και τώρα πανεύκολα συνεχίζουμε...

Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Re: Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Re: Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Re: Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Re: Άθροισμα τετραγωνικών ριζών

Μέλη σε σύνδεση