Να βρεθεί το άθροισμα

#1

Αν οι αριθμοί $\displaystyle{a,b,x,y}$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι και ισχύει:

$\displaystyle{(a^2 +b^2 )(x+y) =a+b+x+y+1}$

να βρεθούν όλες οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει το άθροισμα $\displaystyle{a+b+x+y}$

#2

Επαναφορά!

Nikitas K. · #3

$\Leftrightarrow (a^2+b^2-1)(x+y)=a+b+1$

Αν δοκιμάσουμε a^2+b^2=1

, τότε $a=1\wedge b=0\vee a=0 \wedge b=1$ που δίνει άτοπο, οπότε

$x+y=\dfrac{a+b+1}{a^2+b^2-1}$

Το ζητούμενο άθροισμα:
$a+b+x+y=a+b+\dfrac{a+b+1}{a^2+b^2-1}$

Για να υπάρχει πιθανότητα το κλάσμα $\dfrac{a+b+1}{a^2+b^2-1}$ να είναι φυσικός αριθμός πρέπει ο αριθμητής να είναι τουλάχιστον όσο παρονομαστής, δηλαδή $a+b+1\geq a^2+b^2-1$ ... Σύμφωνα με τις λύσεις του Wolfram Alpha και όσα γράφτηκαν παραπάνω, αρκεί να δοκιμάσουμε τα ζεύγη (0,0),(1,1),(0,2),(1,2)

απορρίπτουμε το (0,0)

διότι θα έδινε x+y=-1

άτοπο.

Οπότε $a+b+x+y\in\left\{3,4,5\right\}$

Υ.Γ. Για να μην χρησιμοποιήσω Wolfram Alpha γράφω την ανίσωση ισοδύναμα $\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{1}{2}\right)^2\leq \dfrac{3}{2}$ όπου εύκολα προκύπτει ότι για $b\geq 3$ είναι αδύνατη, συνεπώς φράξαμε το $b\leq 2$ ομοίως για το

δείχνουμε ότι φράζεται.

Να βρεθεί το άθροισμα

Να βρεθεί το άθροισμα

Re: Να βρεθεί το άθροισμα

Re: Να βρεθεί το άθροισμα

Μέλη σε σύνδεση