Δύο τέλεια τετράγωνα

#1

Να βρεθούν όλοι οι ακέραιο αριθμοί $\displaystyle{x}$ , έτσι ώστε οι αριθμοί:

$\displaystyle{20x^2 + 76}$ και $\displaystyle{45x^2 + 684}$ να είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα.

kfd · #2

$20x^{2}+76=4\left ( 5x^{2}+19 \right ),45x^{2} +684=9\left ( 5x^{2}+76 \right )$ .
Aρκεί να είναι τέλεια τετράγωνα οι αριθμοί στις παρενθέσεις.
Αν $\alpha ^{2}$ η 1η παρένθεση και $\beta ^{2}$ η 2η έχουμε $57=\alpha ^{2}-\beta ^{2}$ με αποδεκτές λύσεις $\left ( \alpha ,\beta \right )=\left ( 11,\pm 8 \right )$ , που δίνουν $x=\pm 3.$

cool geometry · #3

$\sqrt{20x^{2}+76}\in N\Rightarrow \sqrt{5x^{2}+19}\in N\Rightarrow 5x^{2}+19=m^{2}(1)$
$\sqrt{45x^{2}+684}\in N\Rightarrow \sqrt{5x^{2}+76}\in N\Rightarrow 5x^{2}+76=n^{2}(2)$
$(1),(2)\Rightarrow n^{2}-m^{2}=1\cdot 3\cdot 19\Rightarrow (m+n)(m-n)=1\cdot 3\cdot 19$ και τώρα εύκολα...

Δύο τέλεια τετράγωνα

Δύο τέλεια τετράγωνα

Re: Δύο τέλεια τετράγωνα

Re: Δύο τέλεια τετράγωνα

Μέλη σε σύνδεση