Πόσα τέλεια τετράγωνα;

#1

Δίνονται έξι τριψήφιοι αριθμοί της μορφής $\overline {abc},\, \overline {acb},\,\overline {bac},\,\overline {bca},\,\overline {cab},\,\overline {cba}.\,$
Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από αυτούς που μπορούν να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Στην πραγματικότητα απευθύνομαι σε μαθητές Α' Γυμνασίου και, γιατί όχι, Δημοτικού.

#2

Ανοικτή σε όλους

#3

Για

οι $\overline{abc},\overline{acb},\overline{bca},\overline{cba}$ είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.

Δεν μπορούμε να έχουμε περισσότερα: Αν είχαμε

ή

τότε τουλάχιστον ένα τέλειο τετράγωνο λήγει σε

κ.τ.λ. Άρα $a,b,c \in \{1,4,5,6,9\}$ . Επίσης τουλάχιστον ένα τέλειο τετράγωνο αρχίζει με

. Όμως μόνο τα 529

και

είναι τριψήφια τέλεια τετράγωνα που ξεκινούν με

. Απορρίπτονται και τα δύο αφού χρησιμοποιούν το

και το

αντίστοιχα. Ομοίως απορρίπτεται και το

. Αφού απορρίψουμε το

, τότε αναγκαστικά απορρίπτεται και το

. Πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τα

και

και τα μόνο τέλεια τετράγωνα που χρησιμοποιούν αυτά τα δύο ψηφία είναι τα 144

και

.

#4

Demetres έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 18, 2022 5:53 pm
Για οι $\overline{abc},\overline{acb},\overline{bca},\overline{cba}$ είναι όλοι τέλεια τετράγωνα.

Ωραία.

Ας δούμε τώρα και την παραλλαγή όπου τα $a,\, b,\, c$ να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Τώρα η απάντηση είναι "τρεις αριθμοί" αντί "τέσσερις".

Αρχικά αυτό είχα κατά νου. Με εξέπληξε θετικά ο Δημήτρης που βρήκε μία παραπάνω λύση, αλλά χωρίς τον περιορισμό που θέτω τώρα.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2022 8:34 pm
Δίνονται έξι τριψήφιοι αριθμοί της μορφής $\overline {abc},\, \overline {acb},\,\overline {bac},\,\overline {bca},\,\overline {cab},\,\overline {cba}.\,$
Ποιο είναι το μεγαλύτερο δυνατό πλήθος από αυτούς που μπορούν να είναι τέλεια τετράγωνα;

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές Γυμνασίου. Στην πραγματικότητα απευθύνομαι σε μαθητές Α' Γυμνασίου και, γιατί όχι, Δημοτικού.

.
Αφού την προόριζα για μαθητές Δημοτικού, ας δούμε μία λύση χωρίς "σοβαρά" Μαθηματικά.

Τα τριψήφια τέλεια τετράγωνα είναι οι αριθμοί από το 10^2=100

έως το

, είκοσι δύο τον αριθμό. Τα καταγράφουμε (δεν είναι ιδιαίτερος κόπος). Είναι τα

$100,\, 121,\, 144, \, 169,\, 196,\, 225,\, 256,\, 289,\, 324,\, 361,\, 400, \, 441,\, 484,\, 529,\, 576,\, 625,\, 676,\, 729,\, 784,\, 841,\, 900,\, 961$

Παρατηρώντας τα καταλήγουμε ότι αυτά τα οποία επαναλαμβάνονται περισσότερες φορές με αναδιάταξη των ψηφίων τους είναι τα $169,\, 196,\, 961$ .

Ο λόγος που έθεσα την άσκηση (πάντα απευθυνόμενος στο Δημοτικό) είναι για να α) καταγράψουν όλα τα τέλεια τετράγωνα (χρήσιμο για το επίπεδό τους) και β) να κάνουν παρατήρηση σαρώνοντας όλες τις περιπτώσεις. Πρόκειται δια δύο δεξιότητες που πρέπει κάποτε, σε πρώιμη ηλικία, να τις αποκτήσουμε.

Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Re: Πόσα τέλεια τετράγωνα;

Μέλη σε σύνδεση