Δύο μηχανές

#1

Έχουμε δύο κλωσσομηχανές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ που η κάθε μία χωράει το πολύ $\displaystyle{400}$ αυγά πάπιας.
Βάλαμε μερικά αυγά στις δύο μηχανές και μετά από ένα μήνα περίπου, βγήκαν αρκετά παπάκια.
Παρατηρήσαμε ότι ο συνολικός αριθμός των παπιών έχει όλα τα ψηφία του ίδια.
Παρατηρήσαμε επίσης ότι αν πάρουμε τα μισά παπάκια από την μηχανή $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{4}$ από την $\displaystyle{B}$ , θα είναι τόσα, όσα
αν πάρουμε το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ από την $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{8}$ από την $\displaystyle{A}$ .
Πόσα το πολύ παπάκια βγήκαν από την $\displaystyle{A}$ και πόσα από την $\displaystyle{B}$ ;

Henri van Aubel · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Ιουν 16, 2023 8:11 pm
Έχουμε δύο κλωσσομηχανές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ που η κάθε μία χωράει το πολύ $\displaystyle{400}$ αυγά πάπιας.
Βάλαμε μερικά αυγά στις δύο μηχανές και μετά από ένα μήνα περίπου, βγήκαν αρκετά παπάκια.
Παρατηρήσαμε ότι ο συνολικός αριθμός των παπιών έχει όλα τα ψηφία του ίδια.
Παρατηρήσαμε επίσης ότι αν πάρουμε τα μισά παπάκια από την μηχανή $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{4}$ από την $\displaystyle{B}$ , θα είναι τόσα, όσα
αν πάρουμε το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ από την $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{8}$ από την $\displaystyle{A}$ .
Πόσα το πολύ παπάκια βγήκαν από την $\displaystyle{A}$ και πόσα από την $\displaystyle{B}$ ;

Γειά χαρά συνάδελφε, ωραίο!!

Από το τελευταίο δεδομένο προκύπτει $\displaystyle\frac{A}{2}+4=\frac{B}{3}+8\Leftrightarrow 3A-2B=24$ . Έστω $\displaystyle S_{k}=A+B=A+\frac{3A-24}{2}=\frac{5A-24}{2}.$

Θα πρέπει το $S_{k}$ να λήγει σε

εξετάζουμε για $S_{k}=333$ έχουμε A=138

και

Αυτές θα είναι και οι μέγιστες ζητούμενες τιμές.

#3

Γράφω και μια αναλυτική λύση:

Ας υποθέσουμε ότι από την μηχανή $\displaystyle{A}$ βγήκαν $\displaystyle{x}$ παπάκια και από την $\displaystyle{B}$ βγήκαν $\displaystyle{y}$ .

Με βάση το πρόβλημα, έχουμε $\displaystyle{x\leq400 , y\leq 400}$ και άρα $\displaystyle{x+y\leq 800}$
Επίσης με βάση το πρόβλημα έχουμε :

$\displaystyle{\frac{x}{2}+4 = \frac{y}{3}+8 \Leftrightarrow x=\frac{2y}{3}+8}$ .

Αφού όμως οι αριθμοί $\displaystyle{x,y}$ είναι θετικοί ακέραιοι, θα πρέπει $\displaystyle{y=3k}$ , με $\displaystyle{k}$ θετικό ακέραιο.
Άρα θα έχουμε $\displaystyle{y=3k , x=2k+8}$ οπότε $\displaystyle{x+y=5k+8}$

Αφού $\displaystyle{x+y\leq 800}$ , συμπεραίνουμε ότι θα είναι το πολύ τριψήφιος και αφού θέλουμε να βρούμε την μέγιστη τιμή
του $\displaystyle{x+y}$ , θα εξετάσουμε αν μπορεί να είναι τριψήφιος. Με δεδομένο ότι θέλουμε να έχει όλα του τα ψηφία ίδια,
θα πρέπει να έχει την μορφή $\displaystyle{AAA}$ , δηλαδή $\displaystyle{x+y=100A+10A+A}$ , όπου $\displaystyle{A\in\{1,2,3,4,5,6,7\}}$ και άρα:
$\displaystyle{5k+8=100A+10A+A\Rightarrow k=20A+2A+\frac{A-8}{5}}$ .

Επειδή ο $\displaystyle{k}$ είναι θετικός ακέραιος, θα πρέπει ο αριθμός $\displaystyle{\frac{A-8}{5}}$ να είναι ακέραιος. Και αφού
$\displaystyle{A\in\{1,2,3,4,5,6,7\}}$ , θα πρέπει $\displaystyle{A=3}$ . Άρα $\displaystyle{x+y =333}$ και $\displaystyle{k=20.3+2.3+\frac{3-8}{5} = 65}$

Άρα ο μέγιστος αριθμός παπιών που μπορούσαν να επωαστούν από τις δύο μηχανές είναι $\displaystyle{333}$

Και αφού $\displaystyle{x=2k+8 , y=3k}$ θα έχουμε $\displaystyle{x=138 , y=195}$ , που είναι και ο μέγιστος αριθμός παπιών που
μπορούν να βγουν από τις μηχανές $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αντιστοίχως.

Δύο μηχανές

Δύο μηχανές

Re: Δύο μηχανές

Re: Δύο μηχανές

Μέλη σε σύνδεση