Υπόλοιπο διαίρεσης

#1

Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{N_1 , N_2 , N_3 , . . . }$ για τους οποίους :

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{ N_1}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{1}$
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_2}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{2}$
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_3}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{3}$

κ.λ.π.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_k}$ με το $\displaystyle{7}$ , , συναρτήσει του $\displaystyle{k}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 06, 2024 6:16 pm
Θεωρούμε τους φυσικούς αριθμούς $\displaystyle{N_1 , N_2 , N_3 , . . . }$ για τους οποίους :

Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{ N_1}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{1}$
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_2}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{2}$
Το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_3}$ με το $\displaystyle{7}$ , είναι το $\displaystyle{3}$

κ.λ.π.

Να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του $\displaystyle{N_k}$ με το $\displaystyle{7}$ , , συναρτήσει του $\displaystyle{k}$

Τα υπόλοιπα είναι σε κύκλους των

, αρχίζοντας από το 1,2,3,4,5,6,0

και περιοδικά. Η υπόθεση μας λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης δια

του $N_{7n+m}$ , όπου $0\le m <7$ , είναι

. Θέλουμε τύπο του

συναρτήσει του k=7n+m

. Ισχυρίζομαι ότι ο $\boxed {m=k-7\lfloor \frac {k}{7} \rfloor }$ μας κάνει. Εδώ $\lfloor . \rfloor$ δηλώνει "ακέραιο μέρος". Πράγματι,

$k-7\lfloor \frac {k}{7} \rfloor = 7n+m-7\lfloor \frac {7n+m}{7} \rfloor = 7n+m-7\lfloor n +\frac {m}{7} \rfloor = 7n+m-7(n +0) =m,$ όπως θέλαμε.

Υπόλοιπο διαίρεσης

Υπόλοιπο διαίρεσης

Re: Υπόλοιπο διαίρεσης

Μέλη σε σύνδεση