Ακέραιο ποσοστό

#1

Η Κατερίνα είχε έναν περιττό αριθμό από κέρματα που ήταν όλα του ενός ευρώ. Αποφάσισε να κρατήσει ένα ευρώ και από τα υπόλοιπα
να δώσει το $\displaystyle{\frac{1}{3}}$ στον αδελφό της.
Αν γνωρίζουμε ότι το ποσοστό επί τοις % των αρχικών χρημάτων της Κατερίνας που έδωσε στον αδελφό της ήταν αριθμός ακέραιος,
να βρείτε πόσα χρήματα είχε στην αρχή η Κατερίνα.

kkala · #2

Έστω 2ν+1 τα αρχικά κέρματα της Κατερίνας (ν ακέραιος θετικός, όπως και οι παρακάτω κ, μ), οπότε ο αδελφός της πήρε 2ν/3 κέρματα.Τούτο αντιπροσωπεύει ακέραιο αριθμό, άρα το ν διαιρείται με το 3. Συνεπώς ν=3κ. Ο αδελφός της πήρε 2κ κέρματα, ενώ η Κατερίνα είχε αρχικά 6κ+1 κέρματα του ενός Ευρώ.
Κατά τα δεδομένα, ο αριθμός 100(2κ/(6κ+1)) = 200κ/(6κ+1) = μ είναι ακέριος θετικός. Οπότε 200κ=6κμ+μ, και άρα κ = μ/(200-6μ) (1).

Ο κ είναι θετικός, οπότε 200-6μ>0 και μ<33.33. Εξάλλου ο κ έχει τιμή τουλάχιστον 1, οπότε μ/(200-6μ) GE 1 (μεγαλύτερο ή ίσο προς 1) ή 7μ GE 200 , δηλαδή μ> 28. Οι δεκτές τιμές του μ βάσει αυτών των δύο περιορισμών είναι 29, 30, 31, 32, 33.

Από αυτές τις τιμές του μ, μόνο τιμή μ=32 δίνει ακέραιο κ, δηλαδή κ= 32/8=4.
Επομένως η Κατερίνα είχε αρχικά 6χ4+1 = 25 κέρματα του ενός Ευρώ.

Ο "equation editor" ακόμα δεν μπορεί να χρησιμοποιθεί. Γι αυτό και δεν χρησιμοποιείται Latex στα παραπάνω. Θερμή παράκληση να αποκατασταθεί ο "equation editor", διότι είναι δύσκολο για αρχάριο να γράψει αλλοιώς σε Latex.

Nikitas K. · #3

kkala έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 13, 2025 10:03 pm
Ο "equation editor" ακόμα δεν μπορεί να χρησιμοποιθεί. Γι αυτό και δεν χρησιμοποιείται Latex στα παραπάνω. Θερμή παράκληση να αποκατασταθεί ο "equation editor", διότι είναι δύσκολο για αρχάριο να γράψει αλλοιώς σε Latex.

Ως «χομπίστας» της $\LaTeX$ παραθέτω κάποιες βασικές λειτουργίες της, μέσω προσωπικής σκοπιάς, για να διευκολύνω όποιον δυσκολεύεται...

Ό,τι γράφω που να σχετίζεται με μαθηματικά σύμβολα βρίσκεται εντός

δολλαρίων

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄＄

Πριν από κάθε τελεστή και σχέση -εκτός πληκτρολογίου- μπαίνει πρώτα η ανάποδη κάθετος (\) και για κάθε παράμετρό του βάζω άγκιστρα ({})
π.χ. ο τελεστής κλάσμα με παραμέτρους τον αριθμητή και τον παρονομαστή:

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{A}{B}＄

$\frac {A} {B}$
*Το frac προκύπτει από τη λέξη fraction που σημαίνει κλάσμα.

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄A\neq B＄

$A\neq B$

Ο δείκτης γίνεται με χρήση της κάτω παύλας (_)

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄A_{B}＄

$A_{B}$

Π.χ. Για να γράψουμε $\frac{A}{B} + C^{12} \neq \sqrt{D\frac{E}{F}}$ προτείνεται η γραφή να γίνεται με τον παρακάτω τρόπο ώστε να αποφευχθούν τα λάθη και αν τυχόν συμβούν να αποσφαλματωθούν εύκολα:

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄＄

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{}{}＄

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{A}{B} + C^{}＄

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{A}{B} + C^{12} \neq \sqrt{}＄

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{A}{B} + C^{12} \neq \sqrt{D\frac{}{}}＄

Κώδικας: Επιλογή όλων

＄\frac{A}{B} + C^{12} \neq \sqrt{D\frac{E}{F}}＄

kkala έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 13, 2025 10:03 pm
... Εξάλλου ο κ έχει τιμή τουλάχιστον 1...

Αν δεχθούμε ότι ο αδερφός της Κατερίνας μπορεί να λάβει

€ (δηλαδή $\kappa = 0 < 1$ ) τότε θα μπορούσε η Κατερίνα να είχε αρχικά

€

Ακόμη μια λύση:
Θέτοντας

τα αρχικά χρήματα της Κατερίνας. Iσχύει:

$\displaystyle 33.\bar 3 > 100 \cdot \dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{3} =100\cdot \dfrac{\dfrac{x-1}{3}}{x}\in\mathbb N\Leftrightarrow 100\cdot\dfrac{1-\dfrac{1}{x}}{3} \in\left\{0,1,\dots,33\right\}\overset {x\in\mathbb N^*}{\underset{x\mod 2=1}\Leftrightarrow} x\in\left\{1,25\right\}$

Ακέραιο ποσοστό

Ακέραιο ποσοστό

Re: Ακέραιο ποσοστό

Re: Ακέραιο ποσοστό

Μέλη σε σύνδεση