Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 19, 2016 4:37 pm

Δίνεται ένας θετικός ακέραιος. Ισχύει ότι μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4 ή 5 ώστε το αποτέλεσμα να ξεκινάει από το ψηφίο 1;

[Υπενθυμίζω ότι πρώτα αφήνουμε να την δοκιμάσουν τα πιο μικρά μέλη.]


Λέξεις Κλειδιά:
2015
Fall
Junior-O
Τουρνουά-Πόλεων
ψηφίο
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 806
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Τετ Οκτ 19, 2016 10:04 pm

Αν ο αριθμός ξεκινά από 1, τότε προφανώς το γινόμενο με το 1 θα δώσει αριθμό που ξεκινά με 1.

Σε περίπτωση που ο αριθμός ξεκινά με το 2, είναι δηλαδή της μορφής \overline{2x_1x_2...x_n}, τότε το γινόμενο με το 5 είναι: 10^{n+1}\leq 5\cdot \overline{2x_1x_2...x_n}<5\cdot 3\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}, που σημαίνει ότι το γινόμενο ξεκινά με 1.

Με αρκετά παρόμοιο τρόπο προκύπτουν ότι:

10^{n+1}\leq 5\cdot \overline{3x_1x_2...x_n}<5\cdot 4\cdot 10^{n}=2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 3\cdot \overline{4x_1x_2...x_n}<3\cdot 5\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 3\cdot \overline{5x_1x_2...x_n}<3\cdot 6\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{6x_1x_2...x_n}<2\cdot 7\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{7x_1x_2...x_n}<2\cdot 8\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{8x_1x_2...x_n}<2\cdot 9\cdot 10^{n}<2\cdot 10^{n+1}

10^{n+1}\leq 2\cdot \overline{9x_1x_2...x_n}<2\cdot 10\cdot 10^{n}=2\cdot 10^{n+1}

Άρα ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις!


Houston, we have a problem!
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
JimNt.
Δημοσιεύσεις: 583
Εγγραφή: Παρ Μάιος 20, 2016 3:00 pm

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από JimNt. » Τετ Οκτ 19, 2016 10:06 pm

Demetres έγραψε:Δίνεται ένας θετικός ακέραιος. Ισχύει ότι μπορούμε να τον πολλαπλασιάσουμε με έναν από τους αριθμούς 1,2,3,4 ή 5 ώστε το αποτέλεσμα να ξεκινάει από το ψηφίο 1;

[Υπενθυμίζω ότι πρώτα αφήνουμε να την δοκιμάσουν τα πιο μικρά μέλη.]
Συμβολίζουμε με A(x) το αρχικό ψηφίο του θετικού ακεραίου x. Έστω a ο δεδομένος αριθμός και n το πλήθος των ψηφίων του.
Έστω y,z,w,.. τα ψηφία του αριθμού και c ∈ [1,2,3,4]. Τότεac =(10^{n-1}y+10^{n-2}z+10^{n-3}w+ ...)c. Προφανώς ισχύειA(a)= A((10^{n-1}y+10^{n-2}z)c). Αν zc<10 και Α(yc)=1, τότε ο αριθμός πληροί τις προϋποθέσεις της άσκησης ("δεν έχουμε κρατούμενο που αυξάνει το ψηφίο στην θέση n "). Αν είναι όμως zc \ge 10 ("εχουμε κρατούμενο που μεταβάλλει το ψηφίο που είναι στην θέση n "), τότε μπορούμε στα σίγουρα (για να μην μπλεχτούμε σε πράξεις) με yc > 10 και A(yc)= 1 να δείξουμε ότι A(a)=1, καθώς, έπεται, αφού έχει στο ψηφίο των n+1 το 1 ("έχουμε κρατούμενο που μεταβάλλει το ψηφίο των n+1άδων").
Διακρίνουμε τις περιπτώσεις του A(a) και δουλέυουμε με στόχο το γινόμενο A(a)c να είναι > 10 και A(ac)= 1.
1. A(a)=1, τότε πολ/οντας με 1 προκύπτει ο b=a \Leftrightarrow A(b)=A(a)=1 .
2. A(a)=2, τότε πολ/οντας με 5 προκύπτει ο b με A(b)=1
3. A(a)=3, τότε πολ/οντας με 4 προκύπτει ο b με A(b)=1
4. A(a)=4, τότε πολ/οντας με 3 προκύπτει ο b με A(b)=1
5. A(a)=5, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
6. A(a)=6, τότε πολ/οντας με 3 προκύπτει ο b με A(b)=1
7. A(a)=7, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
8. A(a)=8, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
9. A(a)=9, τότε πολ/οντας με 2 προκύπτει ο b με A(b)=1
Και η δεδομένη πρόταση απεδείχθη.

Θα ήθελα να απολογηθώ για την πενιχρή έκφραση.


Bye :')
Κορυφή
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9010
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Demetres

Re: Πρώτο ψηφίο ίσο με 1

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 19, 2016 10:26 pm

JimNt. έγραψε: Θα ήθελα να απολογηθώ για την πενιχρή έκφραση.
Εντάξει αλλά σιγά σιγά πρέπει να βελτιωθεί και αυτό. Το 48ώρο που βάλαμε δίνει περισσότερο περιθώριο να παίξετε πριν αναλάβουν δράση τα μεγάλα «παιδιά».


Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης