Δεν είναι ομόσημοι
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4770
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 31, 2010 10:37 pm
- Τοποθεσία: Ιστιαία Ευβοίας
Δεν είναι ομόσημοι
Αν
και αν και , να αποδείξετε ότι:
(α)
(b) Οι αριθμοί δεν είναι δυνατόν να είναι ομόσημοι
και αν και , να αποδείξετε ότι:
(α)
(b) Οι αριθμοί δεν είναι δυνατόν να είναι ομόσημοι
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15765
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δεν είναι ομόσημοι
Παροτρύνω τους μαθητές μας να κοιτάξουν την άσκηση γιατί έχει ενδιαφέρον, ιδίως αν ψάξουν για οικονομική λύση.
Re: Δεν είναι ομόσημοι
Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Αν
και αν και , να αποδείξετε ότι:
(α)
(b) Οι αριθμοί δεν είναι δυνατόν να είναι ομόσημοι
Από την δεύτερη σχέση και την παίρνουμε:
. Όμοια από την τρίτη σχέση και την παίρνουμε:
Με πρόσθεση κατα μέλη των προκύπτει το ζητούμενο.
Για το τώρα θα αξιοποιήσουμε την γνωστή ιδιότητα: To γινόμενο δύο θετικών αριθμών είναι θετικός.
Διακρίνουμε περιπτώσεις:
Και οι τρεις είναι θετικοί. Τότε (αφού θετικός και συνεπώς η ύπαρξή του δεν επηρεάζει το πρόσημο), Από τις δύο παραπάνω σχέσεις και με βάση την προαναφερθείσα ιδιότητα λαμβάνουμε: . Όμως αφού παίρνουμε . Συνεπώς, σε αυτήν την περίπτωση οι δεν είναι ομόσημοι.
Και οι τρεις είναι αρνητικοί. Ισχύει πως αν τότε . Συνεπώς, υποθέτουμε ότι , τότε , άτοπο , αφού στο πρώτο ερώτημα δείξαμε ότι .
Επομένως, οι αριθμοί δεν γίνεται να είναι ομόσημοι.
EDIT: Ένα σφάλμα στο β.
τελευταία επεξεργασία από JimNt. σε Κυρ Ιαν 01, 2017 11:30 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Bye :')
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15765
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δεν είναι ομόσημοι
Ωραιότατα.
Λίγο αλλιώς το b).
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα
, και λοιπά.
Ας προσθέσω ότι και στους δύο συλλογισμούς έγινε χρήση της υπόθεσης .
To αφήνω ως άσκηση "να αποδειχθεί το (b) της αρχικής ερώτησης δίχως να υποθέσουμε ότι "
Λίγο αλλιώς το b).
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα
έχουμεJimNt. έγραψε: Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
, και λοιπά.
Ας προσθέσω ότι και στους δύο συλλογισμούς έγινε χρήση της υπόθεσης .
To αφήνω ως άσκηση "να αποδειχθεί το (b) της αρχικής ερώτησης δίχως να υποθέσουμε ότι "
Re: Δεν είναι ομόσημοι
Νομίζω λύνεται παίρνοντας περιπτώσεις:Mihalis_Lambrou έγραψε:Ωραιότατα.
Λίγο αλλιώς το b).
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τα
έχουμεJimNt. έγραψε: Από την πρώτη σχέση παίρνουμε:
, και λοιπά.
Ας προσθέσω ότι και στους δύο συλλογισμούς έγινε χρήση της υπόθεσης .
To αφήνω ως άσκηση "να αποδειχθεί το (b) της αρχικής ερώτησης δίχως να υποθέσουμε ότι "
Έχουμε αποδείξει το για . Συνεπώς, έχουμε και την περιπτώση:
(για τα δεν ορίζονται) Διακρίνουμε τις ύποπεριπτώσεις:
τότε , άτοπο, αφού
. Έχουμε (διαιρέσαμε με και τα δύο μέλη και συνεπώς η φορά της ανίσωσης άλλαξε) και . Τώρα με βάση την προαναφερθείσα ιδιότητα:
(αλλάζει η φορά επειδή πολλαπλασιάσαμε με αρνητικό αριθμό και τα δύο μέλη (τον )), άτοπο. Συνεπώς, σε καμία περίπτωση δεν είναι εφικτό οι να είναι ομόσημοι.
Bye :')
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15765
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Δεν είναι ομόσημοι
Δίνω άλλη λύση: Εύκολα βλέπουμε από την ότι αν οι είναι ομόσημοι τότε ο θα είχε και αυτός το ίδιο πρόσημο με τους τρεις. Ειδικά, το γινόμενο , σε αυτή την περίπτωση, θα έχει το ίδιο πρόσημο με το .
Από την άλλη η που γράφεται (όπου μάζεψα όλα τα τέλεια τετράγωνα στο ) δείχνει ότι το και το έχουν αντίθετα πρόσημα. Άτοπο. Και λοιπά.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης