Σβήσε -γράψε

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 965
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Σβήσε -γράψε

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Δεκ 29, 2017 12:33 pm

Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots , \dfrac{1}{2018}. Επιτρέπεται να σβήσουμε οποιουσδήποτε δύο αριθμούς a και b και στην θέση τους να γράψουμε τον αριθμό a+b+ab. Μετά από κάμποσες τέτοιες πράξεις στον πίνακα έμεινε ένας αριθμός. Με τι μπορεί να ισούται;



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σβήσε -γράψε

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Δεκ 29, 2017 1:01 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Δεκ 29, 2017 12:33 pm
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots , \dfrac{1}{2018}. Επιτρέπεται να σβήσουμε οποιουσδήποτε δύο αριθμούς a και b και στην θέση τους να γράψουμε τον αριθμό a+b+ab. Μετά από κάμποσες τέτοιες πράξεις στον πίνακα έμεινε ένας αριθμός. Με τι μπορεί να ισούται;
Παρατηρούμε ότι αν c=a+b+ab τότε c+1=(a+1)(b+1). Με άλλα λόγια το γινόμενο \displaystyle{\prod _ 1^{2018} \left ( 1+\frac {1}{n}\right )  } δεν αλλάζει τιμή μετά την αντικατάσταση των a,b με τον c. Στην αρχή το γινόμενο ήταν (τηλεσκοπικά) \displaystyle{\prod _ 1^{2018} \frac {n+1}{n}=2019  } οπότε θα μείνει ακριβώς τόσο στο τέλος. Αν m ο τελευταίος αριθμός, τότε m+1=2019, οπότε m=2018.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 965
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σβήσε -γράψε

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Κυρ Δεκ 31, 2017 12:58 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Δεκ 29, 2017 1:01 pm
Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Δεκ 29, 2017 12:33 pm
Στον πίνακα είναι γραμμένοι οι αριθμοί 1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \cdots , \dfrac{1}{2018}. Επιτρέπεται να σβήσουμε οποιουσδήποτε δύο αριθμούς a και b και στην θέση τους να γράψουμε τον αριθμό a+b+ab. Μετά από κάμποσες τέτοιες πράξεις στον πίνακα έμεινε ένας αριθμός. Με τι μπορεί να ισούται;
Παρατηρούμε ότι αν c=a+b+ab τότε c+1=(a+1)(b+1). Με άλλα λόγια το γινόμενο \displaystyle{\prod _ 1^{2018} \left ( 1+\frac {1}{n}\right )  } δεν αλλάζει τιμή μετά την αντικατάσταση των a,b με τον c. Στην αρχή το γινόμενο ήταν (τηλεσκοπικά) \displaystyle{\prod _ 1^{2018} \frac {n+1}{n}=2019  } οπότε θα μείνει ακριβώς τόσο στο τέλος. Αν m ο τελευταίος αριθμός, τότε m+1=2019, οπότε m=2018.

Ακριβώς! Το πρόβλημα βασίζεται στo γεγονός ότι η πράξη, (\ast ) a \ast b= a+b+ab διατηρεί την προσεταιριστική ιδιότητα. Για τρεις αριθμούς π.χ. ισχύει (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c) και γενικότερα δεν έχει συμμασία η σειρά με την οποία γίνονται οι πράξεις συν την παρατήρηση της δημιουργίας τηλεσκοπικού τύπου γινομένου. Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να δημιουργηθούν κι άλλα παρόμοια προβλήματα με πράξεις που διατηρούν την προσεταιριστική ιδιότητα.


Πηγή: Μια ολυμπιάδα εισαγωγικού τύπου που ονομάζεται "Υψηλά Πρότυπα". Κύριως διοργανωτής η Ανώτατη Σχολή Οικονομικών της Ρωσίας. Οι συμμετέχοντες έχουν την δυνατότητα να κερδίσουν κάποια μόρια για την εισαγωγή τους στα πανεπιστήμια. Το συγκεκριμένο είναι για την 7η τάξη. Θα προσπαθήσω στη συνέχεια να βάλω και άλλα θέματα, μερικά είναι ενδιαφέροντα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης