Μέγιστο γινόμενο

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Xriiiiistos
Δημοσιεύσεις: 191
Εγγραφή: Τρί Μάιος 15, 2018 4:36 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Μέγιστο γινόμενο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Xriiiiistos » Σάβ Οκτ 13, 2018 5:02 pm

Αν x+y+z=2 τότε το xyz μεγιστοποιείται; (x,y,z θετικοί )



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 13, 2018 7:18 pm

Xriiiiistos έγραψε:
Σάβ Οκτ 13, 2018 5:02 pm
Αν x+y+z=2 τότε το xyz μεγιστοποιείται; (x,y,z θετικοί )
Καλησπέρα.

Είναι γνωστό το βασικό θεώρημα: Όταν το άθροισμα πολλών θετικών μεταβλητών είναι σταθερό, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν αυτοί γίνουν ίσοι (αν μπορούν να γίνουν ίσοι), οπότε αν δεν υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί για τα x, y, z το xyz παίρνει μέγιστη τιμή  \displaystyle \frac{8}{27}, όταν  \displaystyle x = y = z = \frac{2}{3}.

Αν χρειάζονται βιβλιογραφικές αναφορές, να επανέλθουμε.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Σάβ Οκτ 13, 2018 8:13 pm

Μήπως μπορούμε κύριε Ρίζο να έχουμε κάποια πράγματα για το θεώρημα αυτό γιατί με ενδιαφέρει?? Ευχαριστώ πολύ!


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8298
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο γινόμενο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Οκτ 13, 2018 8:20 pm

Γενικότερα για τους θετικούς αριθμούς a_1, a_2, ..., a_n ισχύει:

\displaystyle \frac{{{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{a_1}{a_2}...{a_n}}} \ge \frac{n}{{\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + ... + \frac{1}{{{a_n}}}}}

με τις ισότητες να ισχύουν όταν a_1=a_2=...=a_n.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Σάβ Οκτ 13, 2018 8:44 pm

Τσιαλας Νικολαος έγραψε:
Σάβ Οκτ 13, 2018 8:13 pm
Μήπως μπορούμε κύριε Ρίζο να έχουμε κάποια πράγματα για το θεώρημα αυτό γιατί με ενδιαφέρει?? Ευχαριστώ πολύ!
Αγαπητέ Νίκο,

οι αλγεβρικές μέθοδοι χρησιμοποιούνταν ως κύριο εργαλείο μελέτης ακροτάτων στα σχολικά μαθηματικά στη χώρα μας από τις αρχές του 20ου αιώνα ως τη δεκαετία του '80, οπότε και επικράτησαν πλήρως οι παράγωγοι. Οι μέθοδοι αυτοί χρησιμοποιούνταν στη διεθνή (και κυρίως στη γαλλική) βιβλιογραφία του δεύτερου μισού του 19ου αιώνα. Πολλά θέματα των εισαγωγικών στα ελληνικά πανεπιστήμια στον 20ο αιώνα έχουν τις ρίζες τους στις εξετάσεις bacalaureat της περιόδου 1840-1900.

Μπορείς να βρεις αρκετό υλικό σε όλα τα βιβλία Άλγεβρας της εποχής (π.χ. Πάλλας, Τόγκας, Κανέλλος, Παπανικολάου), αλλά και στα σχολικά: (Χατζηδάκις, Σακελλαρίου, Μπαρμπαστάθης).

Κάποια στοιχεία μπορείς να βρεις στην βιβλιογραφία που περιέχεται στην τελευταία σελίδα του συνημμένου ΕΔΩ.

Επίσης, έναν ενδιαφέροντα διάλογο για τις παρανοήσεις και τις ατέλειες στη διατύπωση των θεωρημάτων σε κάποιες από τις πηγές μπορείς να βρεις ΕΔΩ.

Για ότι το ειδικότερο, ευχαρίστως να το συζητήσουμε.


Τσιαλας Νικολαος
Δημοσιεύσεις: 352
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 17, 2015 1:04 pm

Re: Μέγιστο γινόμενο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τσιαλας Νικολαος » Κυρ Οκτ 14, 2018 3:26 pm

Δυστυχώς ακόμη δεν βρήκα χρόνο να κοιτάξω αυτά που έχετε στείλει λόγω φόρτου εργασίας. Επιφανειακά που τα κοίταξα βλέπω ότι αυτά επικεντρώνονται σε 2 αγνώστους που όντως είναι εύκολο κάποιος να το αποδειξει με πολλούς τρόπους. Στους περισσότερους όμως υπάρχει συγκεκριμένο όμως θεωρημα?? Επίσης να αναφέρω ότι οι ανισότητες που αναφέρει ο κύριος Βισβίκης δεν δίνουν απαραίτητα μέγιστο η' ελάχιστο μιας παράστασης! Θα επανέλθω όταν βρω χρόνο όμως για να κοιτάξω όταν θα έχω άνεση χρόνου! Ευχαριστώ πάρα πολύ!!!


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 4384
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μέγιστο γινόμενο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Κυρ Οκτ 14, 2018 5:18 pm

Ενδεικτικά, δες το πρόβλημα 8 στο τέλος της σελίδας 174 της Άλγεβρας του Ι. Χατζηδάκι (έκδοση 1923) πως οδηγεί στο συγκεκριμένο θεώρημα και την ερμηνεία με απαγωγή σε άτοπο που δίνει στη σελίδα 176, καθώς και την πλήρη απόδειξη του Π. Τόγκα στον τόμο Β (μπλε) της Άλγεβρας του.

Επιτρέψτε μου εδώ να σχολιάσω ότι όντως για εμάς που δεν προλάβαμε αυτά τα βιβλία ούτε ως μαθητές, ούτε ως εκπαιδευτικοί, η αναζήτηση είναι χρονοβόρα μεν, αλλά αποτελεί μια εξαιρετική εμπειρία και πηγή Γνώσης.

Είναι εμφανής η προσπάθεια και η αγωνία του Ιωάννη Χατζηδάκι να χωρέσει σε ελάχιστο χώρο, λόγω του εκδοτικού κόστους, έννοιες, προτάσεις και συμπεράσματα που θα χρειαζόταν τόμοι ολόκληροι για να αναπτυχθούν. Το βιβλίο αυτό, είναι από τα πιο μεστά και ευανάγνωστα μαθηματικά βιβλία που έχω συναντήσει! Μιλώ για τη Στοιχειώδη Άλγεβρα. Η πρώτη έκδοση είναι του 1882 και ακολουθούν δεκάδες άλλες με ελάχιστες μεταβολές.

Χατζηδάκις 1882.jpg
Χατζηδάκις 1882.jpg (27.43 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές
Συνημμένα
Τόγκας 907-908.pdf
(303.24 KiB) Μεταφορτώθηκε 31 φορές
Χατζηδάκις174-176.pdf
(581.78 KiB) Μεταφορτώθηκε 33 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης