Άθροισμα ψηφίων αριθμού

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Άθροισμα ψηφίων αριθμού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 21, 2018 8:06 pm

Με s(a) συμβολίζουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού a. Για παράδειγμα s(10002)=3.

Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί n με την ιδιότητα n+s(n)+s(s(n))=999.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές. Δεν πρέπει να δυσκολέψει κανέναν.



Λέξεις Κλειδιά:
Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm

Έχουμε 999\geq n, 27\geq s(n), 10\geq s(s(n)). Έχουμε επίσης ότι s(n)+s(s(n))\leq 37\Leftrightarrow n\geq 962, άρα 999\geq n\geq 962. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
n\equiv 0 mod9, συνεπώς s(n)=27, ή  s(n)=18, και s(s(n))=9. Αν s(n)=18
τότε n=972. Ανs(n)=27 τότε n=963 το οποίο απορρίπτεται λόγω του s(n)=27.

n\not\equiv 0 mod9. Τότε s(n)\not\equiv 0 mod9, s(s(n))\not\equiv 0 mod9. Θέτουμε n\equiv a mod9, τότε s(s(n))\equiv a mod 9, s(n)\equiv amod9 με a\leq 8. Με πρόσθεση κατά μέλη, και λόγω του ορισμού των ισουπόλοιπων αριθμών έχουμε ότι 3/333-a, άρα 3/a.
Αν a=3 τότε s(s(n))=3. Επειδή όμως 27\geq s(n)\geq 16, θα είναι s(n)=21, άρα n=975.

Αν a=6, s(s(n))=6. Πάλι όμως 27\geq s(n)\geq 16, άρα επειδή s(n)\equiv 6 mod 9, θα είναι s(n)=24 και n=969.

'Αρα μοναδικές λύσεις είναι οι n=972,n=975, n=969.

Υ.Γ. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές (χωρίς μόντουλα).


ARHS100
Δημοσιεύσεις: 13
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2018 10:26 am

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ARHS100 » Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:07 pm

Πράγματι,πολύ εύκολη !!!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Άθροισμα ψηφίων αριθμού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Νοέμ 22, 2018 8:53 pm

:10sta10:
Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Τετ Νοέμ 21, 2018 9:07 pm
Υ.Γ. Σίγουρα υπάρχουν και άλλες λύσεις και μάλιστα πιο απλές (χωρίς μόντουλα).
Βεβαίως και μπορούμε πιο απλά.

Υπόδειξη: Αφού έδειξες ότι n\ge 962 μετά εξετάζουμε ανά δεκάδα. Π.χ. για αριθμούς από 981 έως 989 ήδη s(n) \ge 9+8+1=18 οπότε n+s(n) +s(s(n)) >  981+s(n) \ge 981+18=999. Άρα απορρίπτονται. Συνέχισε.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης