Ελάχιστο συνάρτησης

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Ελάχιστο συνάρτησης

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Νοέμ 28, 2018 10:25 am

Προς μαθητές μέχρι το Σαββατοκύριακο:

Με αφορμή ένα θέμα που προέκυψε εδώ
KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 14, 2016 7:27 pm

f(x)=\dfrac{11x^2-75}{4x\sqrt{6x^2-50}} . Η συνάρτηση αυτή ...

... παρουσιάζει ελάχιστο το \dfrac{\sqrt{3}}{2} για x^2=\dfrac{75}{7}
πείστε με ότι το παραπάνω είναι σωστό (για θετικά x στα οποία έχουν νόημα οι παραστάσεις). Με άλλα λόγια δείξτε

\displaystyle{ \dfrac{11x^2-75}{4x\sqrt{6x^2-50}} \ge \frac {\sqrt 3}{2}} , ισοδύναμα \displaystyle{11x^2-75 \ge 2\sqrt 3 x\sqrt{6x^2-50}}}

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ: Δεκτές μόνο λύσεις της μιας-δυο γραμμών και με χρήση της a^2+b^2\ge 2ab. Επισημαίνω ότι χωρίς τον περιορισμό που θέτω, το ζητούμενο έχει ήδη αποδειχθεί στο ποστ που παραπέμπω.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Νοέμ 29, 2018 11:27 pm

Από \alpha ^{2}+\beta ^{2}\geq 2\alpha \beta έχουμε:49x^{4}+75^{2}\geq1050x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}\geq 72x^{4}+1650x^{2}-600x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}-1650x^{2}\geq ..12x^{2}\left ( 6x^{2}- 50\right )\Leftrightarrow \left ( 11x^{2}-75 \right )^{2}\geq \left ( 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50} \right ) ^{2} \Leftrightarrow 11x^{2}-75\geq 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50}
τελευταία επεξεργασία από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ σε Παρ Νοέμ 30, 2018 3:20 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Νοέμ 30, 2018 1:22 am

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Νοέμ 29, 2018 11:27 pm
Από \alpha ^{2}+\beta ^{2}\geq 2\alpha \beta έχουμε:49x^{4}+75^{2}\geq 1050^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}\geq 72x^{4}+1650x^{2}-600x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}-1650x^{2}\geq ..12x^{2}\left ( 6x^{2}- 50\right )\Leftrightarrow \left ( 11x^{2}-75 \right )^{2}\geq \left ( 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50} \right ) ^{2} \Leftrightarrow 11x^{2}-75\geq 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50}
:10sta10:
(προσοχή όμως σε ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα στην πρώτη γραμμή: λείπει ένα x^2 )

Αυτό που είχα κατά νου είναι λίγο πιο απλό:

\displaystyle{\displaystyle{2\sqrt 3 x\sqrt{6x^2-50}}} = 2\sqrt 3 x\sqrt{\frac {2}{3} \left (9x^2-75\right )}}} = 2\sqrt 2 x\sqrt{9x^2-75}}\le (2x^2)+(9x^2-75)=11x^2-75}


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Παρ Νοέμ 30, 2018 3:23 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Νοέμ 30, 2018 1:22 am

(προσοχή όμως σε ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα στην πρώτη γραμμή: λείπει ένα x^2 )
...
Σας ευχαριστώ για τη διόρθωση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης