Ελάχιστο συνάρτησης

#1

Προς μαθητές μέχρι το Σαββατοκύριακο:

Με αφορμή ένα θέμα που προέκυψε εδώ

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 14, 2016 7:27 pm

$f(x)=\dfrac{11x^2-75}{4x\sqrt{6x^2-50}}$ . Η συνάρτηση αυτή ...

... παρουσιάζει ελάχιστο το $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ για $x^2=\dfrac{75}{7}$

πείστε με ότι το παραπάνω είναι σωστό (για θετικά

στα οποία έχουν νόημα οι παραστάσεις). Με άλλα λόγια δείξτε

$\displaystyle{ \dfrac{11x^2-75}{4x\sqrt{6x^2-50}} \ge \frac {\sqrt 3}{2}}$ , ισοδύναμα $\displaystyle{11x^2-75 \ge 2\sqrt 3 x\sqrt{6x^2-50}}}$

ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ: Δεκτές μόνο λύσεις της μιας-δυο γραμμών και με χρήση της $a^2+b^2\ge 2ab$ . Επισημαίνω ότι χωρίς τον περιορισμό που θέτω, το ζητούμενο έχει ήδη αποδειχθεί στο ποστ που παραπέμπω.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Από $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\geq 2\alpha \beta$ έχουμε: $49x^{4}+75^{2}\geq1050x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}\geq 72x^{4}+1650x^{2}-600x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}-1650x^{2}\geq ..12x^{2}\left ( 6x^{2}- 50\right )\Leftrightarrow \left ( 11x^{2}-75 \right )^{2}\geq \left ( 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50} \right ) ^{2} \Leftrightarrow 11x^{2}-75\geq 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50}$

#3

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Νοέμ 29, 2018 11:27 pm
Από $\alpha ^{2}+\beta ^{2}\geq 2\alpha \beta$ έχουμε: $49x^{4}+75^{2}\geq 1050^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}\geq 72x^{4}+1650x^{2}-600x^{2}\Leftrightarrow 121x^{4}+75^{2}-1650x^{2}\geq ..12x^{2}\left ( 6x^{2}- 50\right )\Leftrightarrow \left ( 11x^{2}-75 \right )^{2}\geq \left ( 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50} \right ) ^{2} \Leftrightarrow 11x^{2}-75\geq 2\sqrt{3}x\sqrt{6x^{2}- 50}$

(προσοχή όμως σε ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα στην πρώτη γραμμή: λείπει ένα x^2

)

Αυτό που είχα κατά νου είναι λίγο πιο απλό:

$\displaystyle{\displaystyle{2\sqrt 3 x\sqrt{6x^2-50}}} = 2\sqrt 3 x\sqrt{\frac {2}{3} \left (9x^2-75\right )}}} = 2\sqrt 2 x\sqrt{9x^2-75}}\le (2x^2)+(9x^2-75)=11x^2-75}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 30, 2018 1:22 am

(προσοχή όμως σε ένα μικρό τυπογραφικό σφάλμα στην πρώτη γραμμή: λείπει ένα )
...

Σας ευχαριστώ για τη διόρθωση.

Ελάχιστο συνάρτησης

Ελάχιστο συνάρτησης

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

Re: Ελάχιστο συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση