Εκθετική Εξίσωση

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Εκθετική Εξίσωση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 10:22 am

Να επιλυθεί στο \mathbb R η εξίσωση

\displaystyle{2^{\frac {1}{x}}x+ \frac {2^x}{x} = 4}

Ας την αφήσουμε 24 ώρες στους μαθητές μας.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εκθετική Εξίσωση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm

Καλημέρα!
Αρχικά πρέπει x\neq 0
Αν x<0 τότε πάντα 2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}<0<4
Άρα x>0
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=2^{\frac{1}{x}}x , g(x)=\frac{2^{x}}{x}
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες θα είναι και η q(x)=f(x)+g(x)=2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}
x>2 τότε q(x)>4.
Παίρνουμε x=1 και προκύπτει 2+2=4 που ισχύει.Άρα μοναδική λύση είναι η x=1.


Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 444
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εκθετική Εξίσωση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Πέμ Δεκ 27, 2018 1:22 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm
Καλημέρα!
Αρχικά πρέπει x\neq 0
Αν x<0 τότε πάντα 2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}<0<4
Άρα x>0
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=2^{\frac{1}{x}}x , g(x)=\frac{2^{x}}{x}
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες θα είναι και η q(x)=f(x)+g(x)=2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}
x>2 τότε q(x)>4.
Παίρνουμε x=1 και προκύπτει 2+2=4 που ισχύει.Άρα μοναδική λύση είναι η x=1.
Γεια σου Πρόδρομε και χρόνια πολλά!

Mετά την παρατήρηση ότι αναζητούμε λύσεις για x>0 μπορείς να δουλέψεις και με τις κλασικές ανισότητες a>0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\geq 2, a,b \geq 0 \Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική Εξίσωση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 1:39 pm

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 12:47 pm

Θεωρούμε τις συναρτήσεις f(x)=2^{\frac{1}{x}}x , g(x)=\frac{2^{x}}{x}
Επειδή και οι δύο είναι γνησίως αύξουσες
Πρόδρομε, για ξαναδές το αυτό.


Κω.Κωνσταντινίδης
Δημοσιεύσεις: 28
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2018 5:40 pm

Re: Εκθετική Εξίσωση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κω.Κωνσταντινίδης » Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm

Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις? Και κάτι ακόμα. Αφού την επιλύουμε στο R, γιατί βρήκαμε μόνο για x<2, x=1;
Θα παραθέσω τη λύση μου.
ΓιαX< 0 το αριστερό μέλος είναι αρνητικό, άτοπο.
Για x\geq 0 από AM-GM έχουμε 2^{\frac{1}{x}}x+\frac{2^{x}}{x}=4\geq 2^{\frac{1+x^{2}}{x}}\Leftrightarrow 2\geq \frac{1+x^{2}}{x}\Leftrightarrow 0\geq (x-1)^{2} άρα x=1


Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 366
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Εκθετική Εξίσωση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Πέμ Δεκ 27, 2018 2:42 pm

Έχετε δίκιο κύριε Μιχάλη :oops:
Και στις 2 συναρτήσεις η μονοτονία αλλάζει μεταξύ των 0 και 2 άρα θα προτιμήσουμε την λύση του κύριου Λάμπρου Κατσάπα με εφαρμογή της AM-GM.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11345
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εκθετική Εξίσωση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Δεκ 27, 2018 6:01 pm

Κω.Κωνσταντινίδης έγραψε:
Πέμ Δεκ 27, 2018 2:07 pm
Μια ερώτηση. Μια εκθετική μπορεί να έχει περισσότερες από μια λύσεις?
Γενικά, μπορεί να έχει όσες λύσεις θέλεις. Να μία με δύο: 2^x=x^2. Μία ρίζα είναι η x=2 και έχει μία στο διάστημα [-1,0].


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης