Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8205
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Παρ Φεβ 22, 2019 9:16 pm

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y και έστω a=1+\frac{x}{y} και b = 1+\frac{y}{x}. Αν a^2+b^2=15 να υπολογιστεί το a^3+b^3.

Διορθώθηκε η εκφώνηση. Απολογούμαι όσους ταλαιπώρησα. :oops:



Λέξεις Κλειδιά:
Prødigy
Δημοσιεύσεις: 42
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 26, 2018 11:39 pm

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Prødigy » Κυρ Φεβ 24, 2019 7:02 pm

Καλησπέρα.

Έχουμε ότι a+b=\frac{x+y}{y}+\frac{x+y}{x}=\frac{(x+y)^2}{xy} και ab=\frac{(x+y)^2}{xy}

Συνεπώς a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab)^2-2ab=ab(ab-2)

Άρα ab(ab-2)=3*5

ab=3 απορρίπτεται, άρα ab=5

Οπότε a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)=(ab)^3-3(ab)^2=(ab)^2(ab-3)=25*2=50


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 658
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Φεβ 24, 2019 7:42 pm

Καλησπέρα! Κύριε Δημήτρη, η άσκηση αυτή δεν είναι από τον ατομικό διαγωνισμό Harvard; Πρόσφατα διεξήχθη και την συνάντησα ως δεύτερο θέμα του διαγωνίσματος


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης