Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

#1

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί x,y

και έστω $a=1+\frac{x}{y}$ και $b = 1+\frac{y}{x}$ . Αν a^2+b^2=15

να υπολογιστεί το a^3+b^3

.

Διορθώθηκε η εκφώνηση. Απολογούμαι όσους ταλαιπώρησα.

Prødigy · #2

Καλησπέρα.

Έχουμε ότι $a+b=\frac{x+y}{y}+\frac{x+y}{x}=\frac{(x+y)^2}{xy}$ και $ab=\frac{(x+y)^2}{xy}$

Συνεπώς a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=(ab)^2-2ab=ab(ab-2)

Άρα

απορρίπτεται, άρα ab=5

Οπότε

Κατερινόπουλος Νικόλας · #3

Καλησπέρα! Κύριε Δημήτρη, η άσκηση αυτή δεν είναι από τον ατομικό διαγωνισμό Harvard; Πρόσφατα διεξήχθη και την συνάντησα ως δεύτερο θέμα του διαγωνίσματος

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Re: Από άθροισμα τετραγώνων σε άθροισμα κύβων

Μέλη σε σύνδεση