Σελίδα 1 από 1

4 Ρίζες

Δημοσιεύτηκε: Τετ Αύγ 14, 2019 5:41 pm
από JimNt.
Δίνονται θετικοί πραγματικοί x_0, y_0, z_0 ώστε το πρόσημο κάθε παράγοντα του c=(x_0+y_0+z_0)(x_0+y_0-z_0)(z_0+x_0-y_0)(y_0+z_0-x_0) να είναι θετικό. Θεωρούμε θετικό πραγματικό x_1>x_0. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση (x_1+y+z_0)(x_1+y-z_0)(z_0+x_1-y)(y+z_0-x_1)=c (ως προς y) έχει 4 πραγματικές ρίζες.

Re: 4 Ρίζες

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 18, 2019 11:43 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Επαναφορά.

Re: 4 Ρίζες

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
από harrisp
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.

Re: 4 Ρίζες

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 19, 2019 2:49 pm
από JimNt.
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.
Σωστά. Αυτή ήταν η ιδέα (μάλλον γίνεται και με μια γνωστή ταυτότητα). Βέβαια το πρόβλημα δεν είναι ισοδύναμο με αυτό απλά τυχαίνει να αρκεί να θεωρήσουμε ότι η y θα είναι μαζί με τις x_1,z_0 πλευρές τριγώνου, και λόγω της αρτιότητας να θεωρήσουμε και τις αρνητικές αντίστοιχα.

Re: 4 Ρίζες

Δημοσιεύτηκε: Δευ Αύγ 19, 2019 3:15 pm
από harrisp
JimNt. έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:49 pm
ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:
Δευ Αύγ 19, 2019 2:43 pm
Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το εξής:

"Δίνεται τρίγωνο ABC με πλευρές x_0,y_0,z_0 εμβαδού E. Να αποδειχθεί ότι αν αφήσουμε την πλευρά z_0 σταθερή και μεγαλώσουμε την x_0 τότε θα υπάρχουν 4 τρίγωνα με το ίδιο εμβαδόν."

Απόδειξη: Έστω ότι z_0=BC. Φέρνουμε τις 2 παράλληλες στην BC που απέχουν h_a από αυτήν. Ανοίγουμε τον διαβήτη κατά x_1 οπότε παίρνουμε 4 σημεία στις 2 ευθείες αφού σίγουρα x_1>h_a. Έστω A_1,A_2,A_3,A_4 τα σημεία αυτά. Τα τρίγωνα BCA_1,BCA_2,BCA_3,BCA_4 είναι τα ζητούμενα.
Σωστά. Αυτή ήταν η ιδέα (μάλλον γίνεται και με μια γνωστή ταυτότητα). Βέβαια το πρόβλημα δεν είναι ισοδύναμο με αυτό απλά τυχαίνει να αρκεί να θεωρήσουμε ότι η y θα είναι μαζί με τις x_1,z_0 πλευρές τριγώνου, και λόγω της αρτιότητας να θεωρήσουμε και τις αρνητικές αντίστοιχα.
Έχεις δίκιο το παρέλειψα. Ευχαριστώ για την συμπλήρωση.