Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#1

Να αποδείξετε με τρεις (ουσιωδώς διαφορετικούς) τρόπους ότι για κάθε $n\in \mathbb N$ ο αριθμός n^3+5n

είναι πολλαπλάσιο του

.

Περιορισμός: Πρέπει να γράψετε τρεις τρόπους. Λύσεις με έναν ή δύο τρόπους, δεν είναι δεκτές. Η ουσία της άσκησης είναι να εξασκηθεί η επινοητικότητα ώστε να εφευρίσκει κανείς πολλές λύσεις. Ως άσκηση αυτή καθ' εαυτή, δηλαδή λύση με έναν τρόπο, είναι απλή.)

Ratio · #2

1ον: Θεωρούμε $n=6k, n=6k\pm1,...,n=6k\pm5$ και αποδεικνύουμε ότι αποτελεί για κάθε $n \in N$ πολλαπλάσιο του

2ον: Με επαγωγή

3ον: n^3+5n=n^3+6n-n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n

όπου

είναι τρείς διαδοχικοί φυσικοί των οποίων το γινόμενο διαιρείται και με 2 και με 3 , άρα και με 6
Επομένως n^3+5n=6k+6n

kfd · #3

1. $\displaystyle{n^{3}+5n=n^{3}+6n-n=\pi o\lambda .6+n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )=\pi o\lambda .6}$ ως γινόμενο 3 διαδοχικών φυσικών.
2.Αρκεί ο αριθμός να είναι άρτιος και πολλ. του 3. Αν $\displaystyle{n}$ άρτιος ή περιττός θα είναι $\displaystyle{n^{3}+5n}$ άρτιος και αν $\displaystyle{n=3k\pm 1}$ ή $\displaystyle{n=3k}$ θα είναι πολλ. του 3 αναπτύσσοντας την παράσταση $\displaystyle{\left ( 3k\pm 1 \right )^{3}+5\left ( 3k\pm 1 \right )}$
3.Διακρίνουμε περιπτώσεις νια τον $\displaystyle{n=6k,6k\pm 1,6k\pm 2,6k+3}$ δείχνοντας ότι το αποτέλεσμα είναι πολλ.6.

#4

Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: $\frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n}{3} + \binom{n+1}{2}$ ο οποίος είναι ακέραιος.

#5

Demetres έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 30, 2019 9:59 am
Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: $\frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n}{3} + \binom{n+1}{2}$ ο οποίος είναι ακέραιος.

Κλέβοντας την ιδέα, μία παραλλαγή αυτής και η $\, \frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n+2}{3} - \binom{n}{2}$ .

Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Μέλη σε σύνδεση