Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Οκτ 25, 2019 11:12 am

Να αποδείξετε με τρεις (ουσιωδώς διαφορετικούς) τρόπους ότι για κάθε n\in \mathbb N ο αριθμός n^3+5n είναι πολλαπλάσιο του 6.

Περιορισμός: Πρέπει να γράψετε τρεις τρόπους. Λύσεις με έναν ή δύο τρόπους, δεν είναι δεκτές. Η ουσία της άσκησης είναι να εξασκηθεί η επινοητικότητα ώστε να εφευρίσκει κανείς πολλές λύσεις. Ως άσκηση αυτή καθ' εαυτή, δηλαδή λύση με έναν τρόπο, είναι απλή.)



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ratio
Δημοσιεύσεις: 236
Εγγραφή: Παρ Σεπ 09, 2016 8:59 am

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ratio » Παρ Οκτ 25, 2019 12:39 pm

1ον: Θεωρούμε  n=6k, n=6k\pm1,...,n=6k\pm5 και αποδεικνύουμε ότι αποτελεί για κάθε n \in N πολλαπλάσιο του 6

2ον: Με επαγωγή

3ον: n^3+5n=n^3+6n-n=n^3-n+6n=n(n^2-1)+6n=(n-1)n(n+1)+6n
όπου n-1,n,n+1 είναι τρείς διαδοχικοί φυσικοί των οποίων το γινόμενο διαιρείται και με 2 και με 3 , άρα και με 6
Επομένως n^3+5n=6k+6n
τελευταία επεξεργασία από Ratio σε Παρ Οκτ 25, 2019 1:25 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


kfd
Δημοσιεύσεις: 98
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Οκτ 25, 2019 1:16 pm

1.\displaystyle{n^{3}+5n=n^{3}+6n-n=\pi o\lambda .6+n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )=\pi o\lambda .6} ως γινόμενο 3 διαδοχικών φυσικών.
2.Αρκεί ο αριθμός να είναι άρτιος και πολλ. του 3. Αν \displaystyle{n} άρτιος ή περιττός θα είναι \displaystyle{n^{3}+5n} άρτιος και αν \displaystyle{n=3k\pm 1} ή \displaystyle{n=3k} θα είναι πολλ. του 3 αναπτύσσοντας την παράσταση \displaystyle{\left ( 3k\pm 1 \right )^{3}+5\left ( 3k\pm 1 \right )}
3.Διακρίνουμε περιπτώσεις νια τον \displaystyle{n=6k,6k\pm 1,6k\pm 2,6k+3} δείχνοντας ότι το αποτέλεσμα είναι πολλ.6.


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8262
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Οκτ 30, 2019 9:59 am

Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: \frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n}{3} + \binom{n+1}{2} ο οποίος είναι ακέραιος.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11540
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Πολλαπλάσια του 6 με τρεις τρόπους

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Οκτ 30, 2019 10:15 pm

Demetres έγραψε:
Τετ Οκτ 30, 2019 9:59 am
Ας δούμε ακόμη έναν τρόπο: \frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n}{3} + \binom{n+1}{2} ο οποίος είναι ακέραιος.
Κλέβοντας την ιδέα, μία παραλλαγή αυτής και η \, \frac{n^3 + 5n}{6} = \binom{n+2}{3} - \binom{n}{2}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης