Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

Συντονιστές: Φωτεινή, silouan

Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11565
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Δευ Οκτ 28, 2019 9:46 am

Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός N έτσι ώστε ο 77N να είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές. Έχει αρκετά προσιτή λύση αλλά ομολογώ ότι όταν πρόσφατα μου έδωσαν την άσκηση, πήρα στην αρχή τον δύσκολο δρόμο. Την έλυσα μεν, αλλά με παραπάνω κόπο από το ζητούμενο. Αργότερα σκέφθηκα τον απλό τρόπο που ζητώ, που κάνει για μαθητές Γυμνασίου.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1497
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Οκτ 28, 2019 1:39 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Δευ Οκτ 28, 2019 9:46 am
Να βρεθεί ο μικρότερος φυσικός αριθμός N έτσι ώστε ο 77N να είναι γινόμενο τριών διαδοχικών φυσικών.

Ας την αφήσουμε 24 ώρες για τους μαθητές. Έχει αρκετά προσιτή λύση αλλά ομολογώ ότι όταν πρόσφατα μου έδωσαν την άσκηση, πήρα στην αρχή τον δύσκολο δρόμο. Την έλυσα μεν, αλλά με παραπάνω κόπο από το ζητούμενο. Αργότερα σκέφθηκα τον απλό τρόπο που ζητώ, που κάνει για μαθητές Γυμνασίου.
Να υποθέσω ότι εδώ θεωρούμε ότι το 0 δεν ανήκει στους φυσικούς, γιατί αν 0 \in \mathbb{N} τότε προφανώς ο N=0.
Έστω λοιπόν ότι το N \geqslant 1.

Έχουμε 77N=M(M+1)(M+2), και αν M=20 έχω ότι N=120. Θα δείξω ότι αυτή η τιμή του N είναι και η μικρότερη δυνατή. Προφανώς, όταν ελαχιστοποιείται ο N, ελαχιστοποιείται και ο M.

Αν λοιπόν M<20, τότε έχω 11 \mid 77 \mid M(M+1)(M+2), άρα 11 \mid M ή 11 \mid M+1 ή 11 \mid M+2, και αφού M <20, έχω ότι M \in \{11,10,9 \}.

Εύκολα όμως βλέπω ότι καμία από τις παραπάνω τιμές δεν δίνει N φυσικό, οπότε η ελάχιστη τιμή του M είναι 20 και του N είναι \boxed{120}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8266
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Γινόμενο 3 διαδοχικών αριθμών.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Δευ Οκτ 28, 2019 2:06 pm

Αντί για τη μικρότερη τιμή του N ισοδύναμα θα βρούμε τη μικρότερη τιμή του 77N.

Ο ένας από τους τρεις φυσικούς πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 11. Δεν γίνεται να είναι το 11 διότι τότε κανένας από τους άλλους δύο δεν είναι πολλαπλάσιο του 7. Αναγκαστικά λοιπόν είναι 77N \leqslant 20 \cdot 21 \cdot 22 με την ισότητα να λαμβάνεται για N = 120.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Juniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες