Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους

#1

Αν $\displaystyle{(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2 )=8a^2 x^2 y^2}$ , με $\displaystyle{a , x , y > 0}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a , x , y}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 06, 2022 7:52 pm
Αν $\displaystyle{(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2 )=8a^2 x^2 y^2}$ , με $\displaystyle{a , x , y > 0}$ , να βρεθούν οι αριθμοί $\displaystyle{a , x , y}$

Από την ανισότητα Αριθμητικού Μέσου-Γεωμετρικού Μέσου έχουμε

$8a^2 x^2 y^2=(x+ay)(ax+y)(x^2 y^2 +a^2)\geq 2\sqrt{xay}\cdot 2\sqrt{axy}\cdot 2xya=8a^2x^2y^2$ ,

οπότε ισχύει ισότητα παντού.

Συνεπώς, x=ay

και

, που δίνουν εύκολα x=y=a=1

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους

Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους

Re: Μία εξίσωση με τρεις αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση