Άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων, και ξανά.

[Mihalis_Lambrou]

α) Να αποδειχθεί ότι αν ο φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων τότε και ο γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

β) (Λίγο πιο δύσκολο). Να αποδειχθεί ότι αν ο φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων τότε και ο γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

[achilleas]

α) Να αποδειχθεί ότι αν ο φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων τότε και ο γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

β) (Λίγο πιο δύσκολο). Να αποδειχθεί ότι αν ο φυσικός αριθμός γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων τότε και ο γράφεται ως άθροισμα δύο τελείων τετραγώνων.

α) Έστω . Τότε .

β) Έστω . Αφού ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 3, έπεται ότι οι ακέραιοι και είναι πολλαπλάσια του (γνωστό!) . Έστω και . Τότε και το συμπέρασμα έπεται από το α).