Η εξίσωση

cool geometry · #1

Να λύσετε στους θετικούς ακεραίους την εξίσωση $a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}=72\sqrt{abc}(E)$

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Βλ. πιο κάτω ανάρτηση.

#3

Φίλιππε, μπορεί να κάνω λάθος αλλά για ξαναδές αυτό

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 12:06 pm
$6c^3 \leq 72 \sqrt{abc} \Leftrightarrow c^3 \leq 12 \sqrt{c^3}$ .

και επίσης το

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 12:06 pm

$c^4 \leq 12^2c \Leftrightarrow a,b,c \leq 5$ .

(το τελευταίο βγάζει μόνο το $c \le 5$ , όχι τα άλλα δύο.

cool geometry · #4

Ας δώσω μία καθοδήγηση...
$AM-GM:a^{2}b+ab^{2}+a^{2}c+ac^{2}+b^{2}c+bc^{2}\geq 6abc$ , άρα $72\sqrt{abc}\geq 6abc\Rightarrow 72\sqrt{abc}\geq 6\sqrt{abc}\cdot \cdot \sqrt{abc}\Rightarrow \sqrt{abc}\leq 12\Rightarrow abc\leq 144(1)$
Εύκολα είναι $\sqrt{abc}\in N$ (2)

μετά είναι απλά τα πράγματα...

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #5

Επειδή την έλυσα από κινητό, μου διέφυγε η προφανής ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Πράγματι, προκύπτει το παραπάνω συμπέρασμα που δίνει: $abc \in {1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2, 11^2, 12^2}$ και μετά διάκριση περιπτώσεων. (Μπορούμε να βρούμε κάτω φράγμα για διευκόλυνση της εύρεσης;)

Όσον αφορά στην προηγούμενη λύση μου, πράγματι στην πρώτη περίπτωση, η: abc=c^3

στο δεξί μέλος δεν είναι υποχρεωτική και υποθέτει: a=b=c

.

#6

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 8:23 pm
... διότι θα μπορούσα εξ' αρχής να υποθέσω διαφορετική διάταξη.

Εδώ έχεις ένα σοβαρό λογικό σφάλμα.

Είναι σαν να λες: Πες ότι σε μία άσκηση έχουμε τρεις άνισους αριθμούς $a,\, b,\, c$ που ο πιο μικρός είναι

και ο πιο μεγάλος είναι

. Χωρίς βλάβη μπορώ να υποθέσω ότι a <b < c

. Άρα έχω $a=1,\, c=10$ .

Θα μπορούσα εξ αρχής, όπως γράφεις, να έχω υποθέσει διαφορετική διάταξη, ας πούμε την c<b<a

. Τώρα θα έχω $c=1,\, a=10$ .

Υιοθετώντας τώρα τον συλλογισμό που γράφεις παραπάνω, έχουμε a=c

. Με άλλα λόγια δείξαμε ότι 1=10

.

Εννοείται ότι αυτά δεν στέκουν αλλά βασίζονται σε λογικό σφάλμα.

Για ξαναδές, λοιπόν, το επιχείρημά σου.

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ · #7

Έχετε δίκιο. Η διαφοροποίηση των διατάξεων ουσιαστικά με οδηγεί στην: a=b=c

.

cool geometry · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 12:22 pm
Φίλιππε, μπορεί να κάνω λάθος αλλά για ξαναδές αυτό

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 12:06 pm
$6c^3 \leq 72 \sqrt{abc} \Leftrightarrow c^3 \leq 12 \sqrt{c^3}$ .
Πολύ σωστά. Εφόσον $6c^{3}\leq 72\sqrt{abc}$ , μπορούμε να πάρουμε
$(6c^{3})^{2}=6c^{6}\leq72 ^{2}abc\Rightarrow c^{5}\leq 6\cdot 12^{2}ab\Rightarrow c\leq \sqrt[5]{864ab}\leq \sqrt[5]{864\cdot 144}\Rightarrow c\leq 10.$ , όχι όμως ότι $c\leq 5$

και επίσης το
ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 12:06 pm

$c^4 \leq 12^2c \Leftrightarrow a,b,c \leq 5$ .
(το τελευταίο βγάζει μόνο το $c \le 5$ , όχι τα άλλα δύο.

Κι εδώ πολύ ωραία, αλλά ούτε καν $c\leq 5$ δεν βγαίνει.

cool geometry · #9

ΦΙΛΙΠΠΟΣ ΚΑΛΟΥΔΗΣ έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 08, 2022 8:23 pm
Επειδή την έλυσα από κινητό, μου διέφυγε η προφανής ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου. Πράγματι, προκύπτει το παραπάνω συμπέρασμα που δίνει: $abc \in {1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2, 6^2, 7^2, 8^2, 9^2, 10^2, 11^2, 12^2}$ και μετά διάκριση περιπτώσεων. (Μπορούμε να βρούμε κάτω φράγμα για διευκόλυνση της εύρεσης;)
δυστυχώς το κάτω φράγμα δεν μπορεί να βρεθεί, πρέπει να πάρεις όλες τις περιπτώσεις.

Όσον αφορά στην προηγούμενη λύση μου, πράγματι στην πρώτη περίπτωση, η: στο δεξί μέλος δεν είναι υποχρεωτική και υποθέτει: .

Η εξίσωση

Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Re: Η εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση