Μικρότερος αριθμός

#1

Να προσδιορίσετε το μικρότερο θετικό ακέραιο όλα τα ψηφία του οποίου είναι ίσα με

και διαιρείται με το 169

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... ple_of_169

Henri van Aubel · #2

Έστω $\displaystyle n$ το πλήθος των ψηφίων του ζητούμενου αριθμού. Ο αριθμός ισούται με:

$\displaystyle k=4\cdot \frac{10^{n}-1}{9}=169m,m\in \mathbb{N}^{\ast }$

Από αυτή τη σχέση έπεται ότι ο $10^{n}-1$ είναι πολλαπλάσιο του $13^{2}.$

Oπότε $n\geqslant 19$

Δηλαδή ο ελάχιστος έχει

ψηφία ίσα με τέσσερα

#3

Henri van Aubel έγραψε: ↑
Τετ Οκτ 19, 2022 7:37 pm
Από αυτή τη σχέση έπεται ότι ο $10^{n}-1$ είναι πολλαπλάσιο του $39^{2}.$

Oπότε $n\geqslant 19$

Δηλαδή ο ελάχιστος έχει ψηφία ίσα με τέσσερα

Δεν είναι σωστό αυτό το συμπέρασμα.

To

ούτως ή άλλως διαιρεί το 10^n-1

για κάθε

. Επειδή

, ψάχνουμε ουσιαστικά το μικρότερο

ώστε

.

Modulo 13 η ακολουθία 10^n

είναι: 1,10,9,-1,-10,-9 και μετά επαναλαμβάνεται.

Άρα $13|10^n-1 \iff 6|n$ . Πρέπει λοιπόν n = 6m

. Ας παρατηρήσουμε επίσης ότι

$\displaystyle 10^6-1 = (10^3-1)(10^3+1) = (10-1)(10^2+10+1)(10+1)(10^2-10+1) = 9 \cdot 111 \cdot 11 \cdot 91 = 3^3 \cdot 7\cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$

Δηλαδή 13|10^6-1

αλλά $13^2 \nmid 10^6-1$ .

Έχουμε τώρα

$\displaystyle 10^n-1 = 10^{6m}-1 = (10^6-1)(1 + 10^6 + 10^12 + \cdots + 10^{6(m-1)})$

Ψάχνουμε λοιπόν τον μικρότερο

ώστε $13|1 + 10^6 + 10^12 + \cdots + 10^{6(m-1)}$ . Αφού όμως $10^6 \equiv 1 \bmod 13$ έχουμε $13|1 + 10^6 + 10^12 + \cdots + 10^{6(m-1)} \iff 13|m$ .

Άρα το μικρότερο

είναι το

και το μικρότερο

το $6 \cdot 13 = 78$ .

Δύσκολη άσκηση για Juniors. Ουσιαστικά πρόκειται για εφαρμογή του Lifting the Exponent Lemma άσχετο αν το έγραψα χωρίς να το αναφέρω. (Αποδεικνύωντας ειδική περίπτωσή του.)

Τώρα μάλιστα είδα ότι μπήκε στο επίπεδο του Θαλή-Ευκλείδη. Θανάση, έχεις κάτι πιο απλό;

Henri van Aubel · #4

Edit λόγω στραβομάρας (δικής μου)

Μικρότερος αριθμός

Μικρότερος αριθμός

Re: Μικρότερος αριθμός

Re: Μικρότερος αριθμός

Re: Μικρότερος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση