Μέγιστος αριθμός

#1

Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό, με όλα τα ψηφία του διαφορετικά, ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του

, του

και του

.

https://artofproblemsolving.com/communi ... 8p26169753

Henri van Aubel · #2

Έλειψα για δύο μέρες, χτύπησα το χέρι μου και δεν μπορούσα να πληκτρολογήσω, ούτε να γράψω, αλλά τώρα είμαι καλά.

Δίνω μία προσέγγιση στο ωραίο αυτό θέμα:

Ο αριθμός πρέπει να έχει το πολύ δέκα ψηφία, έτσι ώστε να είναι όλα διαφορετικά. Επίσης ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 440

.

Θέτουμε $\displaystyle k=440m$ και έχουμε:

$\displaystyle 440m\leqslant 9876543210\Leftrightarrow m\leqslant 22446689.$

Αν $\displaystyle m=22446689\Rightarrow k=9876543160.$

Έχει όλα τα ψηφία του διαφορετικά, άρα είναι αυτός που ζητάμε.

#3

Το πιο πάνω έχει δύο εξάρια.

Έστω S_1

το άθροισμα των ψηφίων στις περιττές θέσεις και S_2

το άθροισμα των ψηφίων στις άρτιες θέσεις. Τότε $S_1,S_2 \geqslant 0+1+2+3+4 = 10$ και S_1+S_2 = 45

. Πρέπει επίσης $S_1 - S_2 \equiv 0 \bmod 11$ . Τότε $2S_1 \equiv 45 \equiv 12 \bmod 11 \implies S_1 \equiv 6 \bmod 11$ . Αφού $10 \leqslant S_1 \leqslant 45-10 = 35$ τότε $S_1 \in \{17,28\}$ .

Αν ο αριθμός είναι ο 98765abcde

, τότε

. Πρέπει

οπότε $\{b,d\} = \{3,4\}$ και $\{a,c,d\} = \{0,1,2\}$ . Για να είναι πολλαπλάσιο και του

και του

, πρέπει

. Για να είναι πολλαπλάσιο του

πρέπει

. Για να είναι πολλαπλάσιο του

πρέπει τώρα το c=2

.

Άρα στην περίπτωση που ο αριθμός ξεκινάει με 98765

αναγκαστικά είναι ο 9876513240

. Αυτός ικανοποιεί ασφαλώς τα κριτήρια και αναγκαστικά από τα πιο πάνω είναι ο μέγιστος με αυτές τις ιδιότητες.

Μέγιστος αριθμός

Μέγιστος αριθμός

Re: Μέγιστος αριθμός

Re: Μέγιστος αριθμός

Μέλη σε σύνδεση