Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

#1

Έχω δύο κομμάτια σπάγγου. Το ένα είναι $120 \,cm$ και το άλλο $150 \, cm$ . Θέλω να τα κόψω με το ψαλίδι έτσι ώστε όλα τα μικρότερα κομμάτια να είναι ίσα μεταξύ τους. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κομμάτια που μπορώ να πάρω στο τέλος;

Επίσης, να κάνετε γενίκευση. Δηλαδή, αντί για τα συγκεκριμένα νούμερα που έδωσα, να είναι κάποιοι φυσικοί αριθμοί

και

.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 10, 2023 11:51 pm
Έχω δύο κομμάτια σπάγγου. Το ένα είναι $120 \,cm$ και το άλλο $150 \, cm$ . Θέλω να τα κόψω με το ψαλίδι έτσι ώστε όλα τα μικρότερα κομμάτια να είναι ίσα μεταξύ τους. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κομμάτια που μπορώ να πάρω στο τέλος;

Επίσης, να κάνετε γενίκευση. Δηλαδή, αντί για τα συγκεκριμένα νούμερα που έδωσα, να είναι κάποιοι φυσικοί αριθμοί και .

Έστω ότι το πρώτο κομμάτι θα κοπεί σε $\displaystyle{m}$ ίσα κομμάτια και το δεύτερο σε $\displaystyle{n}$ .
Με βάση το πρόβλημα, θα πρέπει :

$\displaystyle{\frac{120}{m}=\frac{150}{n} \Rightarrow \frac{120}{150}=\frac{m}{n} \Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{m}{n}}$

Άρα για να πετύχουμε την ελάχιστη τιμή για τα $\displaystyle{m , n}$ , θα πρέπει: $\displaystyle{m=4 , n=5}$

και συνεπώς ο ελάχιστος αριθμός που ζητάμε είναι $\displaystyle{m+n=9}$ .

Για την γενίκευση, έστω $\displaystyle{d}$ ο Μ.Κ.Δ των αριθμών $\displaystyle{M ,N}$ . Τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί $\displaystyle{a , b}$ πρώτοι μεταξύ τους,

έτσι ώστε να είναι: $\displaystyle{M=a.d}$ και $\displaystyle{N=b.d}$ .

Έστω πάλι ότι το πρώτο κομμάτι θα κοπεί σε $\displaystyle{m}$ ίσα κομμάτια και το δεύτερο σε $\displaystyle{n}$

Με βάση το πρόβλημα, θα πρέπει $\displaystyle{\frac{M}{m}=\frac{N}{n} \Rightarrow \frac{M}{N}=\frac{m}{n}\Rightarrow}$

$\displaystyle{\frac{a.d}{b.d}=\frac{m}{n}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{m}{n}}$ , και αφού $\displaystyle{(a,b)=1}$ και για να πετύχουμε

τον ελάχιστο αριθμό για τα $\displaystyle{m , n}$ , θα πρέπει: $\displaystyle{m=a , n=b}$

και άρα ο μικρότερος αριθμός που ζητάμε είναι ο $\displaystyle{a+b}$

#3

Ας το δούμε και λίγο διαφορετικά:
Ονομάζουμε $\displaystyle{d}$ το μήκος καθενός από τα ίσα κομμάτια. Τότε πρέπει οι αριθμοί $\displaystyle{120 , 150}$ να διαιρούνται με το $\displaystyle{d}$

Άρα ο $\displaystyle{d}$ είναι κοινός διαιρέτης των $\displaystyle{120 , 150}$ . Για να πετύχουμε τον ελάχιστο αριθμό των κομματιών, θα πρέπει ο $\displaystyle{d}$

να έχει το μεγαλύτερο δυνατό μήκος. Άρα θα πρέπει να είναι ο Μ.Κ.Δ των $\displaystyle{120 , 150}$ .

Άρα $\displaystyle{d=30}$ .

Συνεπώς το πρώτο κομμάτι θα το κόψουμε σε $\displaystyle{120:30=4}$ ίσα μέρη και το δεύτερο σε $\displaystyle{150:30=5}$ ίσα μέρη, οπότε συνολικά θα

κόψουμε $\displaystyle{4+5=9}$ κομμάτια.

Αν εργασθούμε με τον παραπάνω τρόπο, μπορούμε εύκολα να λύσουμε το γενικευμένο πρόβλημα:

"Δίνονται $\displaystyle{a}$ σπάγκοι με μήκη $\displaystyle{a_1 , a_2 , a_3 , ... , a_k}$ . Θέλουμε να τους κόψουμε σε ίσα κομμάτια. Ποιος είναι ο ελάχιστος
αριθμός κομματιών που μπορούμε να πάρουμε;"

(ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αν $\displaystyle{d}$ είναι ο Μ.Κ.Δ των αριθμών $\displaystyle{a_1 , a_2 , a_3 , . . . , a_k}$ , τότε ο ζητούμενος αριθμών των κομματιών
είναι : $\displaystyle{\frac{a_1}{d}+\frac{a_2}{d}+ . . . +\frac{a_k}{d}}$ )

#4

Δημήτρη, ο λόγος που έθεσα την άσκηση είναι γιατί όπου την είπα, οι λύτες χρησιμοποιούσαν κρυφές συνθήκες ως δεδομένες που όμως χρειάζονται απόδειξη. Και μάλιστα εφάμμιλης δυσκολίας με τα υπόλοιπα μέρη της λύσης, που γράφουν.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 7:56 am

$\displaystyle{\frac{a.d}{b.d}=\frac{m}{n}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{m}{n}}$ , και αφού $\displaystyle{(a,b)=1}$ και για να πετύχουμε

τον ελάχιστο αριθμό για τα $\displaystyle{m , n}$ , θα πρέπει: $\displaystyle{m=a , n=b}$

.
Σωστό, αλλά θέλει απόδειξη. Για παράδειγμα αν πάρουμε το ανάγωγο κλάσμα $\dfrac {1287} {1785}$ , δεν μου είναι σαφές (αν δεν τεκμηριωθεί) γιατί δεν είναι ίσο με κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή. Π.χ. το $\dfrac {643} {891}$ έχει μέχρι και το τρίτο δεκαδικό ψηφίο ίδιο δεκαδικό ανάπτυγμα με το προηγούμενο, συγκεκριμένα το 0,721

. Ποιος μου λέει ότι το αρχικό κλάσμα δεν είναι ίσο με κάποιο άλλο εκεί κοντά;
.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 12:52 pm
Ονομάζουμε $\displaystyle{d}$ το μήκος καθενός από τα ίσα κομμάτια. Τότε πρέπει οι αριθμοί $\displaystyle{120 , 150}$ να διαιρούνται με το $\displaystyle{d}$

.
Δεν ισχύει αυτό. Υποθέτεις ότι το

είναι φυσικός αριθμός. Γενικά δεν είναι, οπότε δεν έχει νόημα να πούμε ότι διαιρεί τους 120, 150

. Για παράδειγμα μπορούμε να κόψουμε τον ένα σπάγγο σε 1200

κομμάτια μήκους $d = \dfrac {1}{10}$ και τον δεύτερο σε 1500

ακριβώς το ιδίου μήκος με πριν. Το σωστό είναι ότι το πλήθος των κομματιών είναι (εξ ορισμού) φυσικός αριθμός, αλλά όχι το μήκος τους.
.
Ας σημειώσω ότι ενώ γενικά το

δεν είναι φυσικός, το βέλτιστο

(εκείνο που αντιστοιχεί στο μικρότερο πλήθος από ίσα κομμάτια), πάντα είναι φυσικός. Όμως θέλει απόδειξη.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 3:39 pm
Δημήτρη, ο λόγος που έθεσα την άσκηση είναι γιατί όπου την είπα, οι λύτες χρησιμοποιούσαν κρυφές συνθήκες ως δεδομένες που όμως χρειάζονται απόδειξη. Και μάλιστα εφάμμιλης δυσκολίας με τα υπόλοιπα μέρη της λύσης, που γράφουν.

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 7:56 am

$\displaystyle{\frac{a.d}{b.d}=\frac{m}{n}\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{m}{n}}$ , και αφού $\displaystyle{(a,b)=1}$ και για να πετύχουμε

τον ελάχιστο αριθμό για τα $\displaystyle{m , n}$ , θα πρέπει: $\displaystyle{m=a , n=b}$
.
Σωστό, αλλά θέλει απόδειξη. Για παράδειγμα αν πάρουμε το ανάγωγο κλάσμα $\dfrac {1287} {1785}$ , δεν μου είναι σαφές (αν δεν τεκμηριωθεί) γιατί δεν είναι ίσο με κλάσμα με μικρότερο αριθμητή και παρονομαστή. Π.χ. το $\dfrac {643} {891}$ έχει μέχρι και το τρίτο δεκαδικό ψηφίο ίδιο δεκαδικό ανάπτυγμα με το προηγούμενο, συγκεκριμένα το . Ποιος μου λέει ότι το αρχικό κλάσμα δεν είναι ίσο με κάποιο άλλο εκεί κοντά;
.
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 11, 2023 12:52 pm
Ονομάζουμε $\displaystyle{d}$ το μήκος καθενός από τα ίσα κομμάτια. Τότε πρέπει οι αριθμοί $\displaystyle{120 , 150}$ να διαιρούνται με το $\displaystyle{d}$
.
Δεν ισχύει αυτό. Υποθέτεις ότι το είναι φυσικός αριθμός. Γενικά δεν είναι, οπότε δεν έχει νόημα να πούμε ότι διαιρεί τους . Για παράδειγμα μπορούμε να κόψουμε τον ένα σπάγγο σε κομμάτια μήκους $d = \dfrac {1}{10}$ και τον δεύτερο σε ακριβώς το ιδίου μήκος με πριν. Το σωστό είναι ότι το πλήθος των κομματιών είναι (εξ ορισμού) φυσικός αριθμός, αλλά όχι το μήκος τους.
.
Ας σημειώσω ότι ενώ γενικά το δεν είναι φυσικός, το βέλτιστο (εκείνο που αντιστοιχεί στο μικρότερο πλήθος από ίσα κομμάτια), πάντα είναι φυσικός. Όμως θέλει απόδειξη.

Γεια σου Μιχάλη. Θεώρησα (κακώς βέβαια) ότι τα μήκη των κομματιών είναι φυσικοί αριθμοί. Άρα χρειάζεται πράγματι τροποποίηση της απόδειξης.
Θα το κοιτάξω και πάλι με το δεδομένο αυτό.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Παρ Φεβ 10, 2023 11:51 pm
Έχω δύο κομμάτια σπάγγου. Το ένα είναι $120 \,cm$ και το άλλο $150 \, cm$ . Θέλω να τα κόψω με το ψαλίδι έτσι ώστε όλα τα μικρότερα κομμάτια να είναι ίσα μεταξύ τους. Ποιος είναι ο μικρότερος δυνατός αριθμός από κομμάτια που μπορώ να πάρω στο τέλος;

Ας το δούμε και αν δεν θεωρήσουμε ότι το μήκος κάθε ενός από τα ίσα κομμάτια, είναι υποχρεωτικά φυσικός αριθμός:

Υποθέτουμε ότι χωρίσαμε τους δύο σπάγκους σε $\displaystyle{m}$ και $\displaystyle{n}$ κομμάτια, ίσα όλα μεταξύ τους και ότι το κάθε κομμάτι έχει μήκος $\displaystyle{d}$

Τότε θα ισχύει $\displaystyle{m.d = 120}$ και $\displaystyle{n.d = 150}$ . Άρα $\displaystyle{\frac{m.d}{n.d}=\frac{120}{150} \Rightarrow }$

$\displaystyle{\frac{m}{n}=\frac{4}{5} \Rightarrow m=\frac{4n}{5}}$ . Αφού $\displaystyle{(4,5)=1}$ άρα θα πρέπει ο $\displaystyle{5}$ να διαιρεί τον $\displaystyle{n}$ ,

συνεπώς πρέπει $\displaystyle{n=5k}$ , με $\displaystyle{k}$ θετικό ακέραιο. Τότε θα είναι και $\displaystyle{m=\frac{4.5k}{5}=4k}$

Άρα ο συνολικός αριθμός των κομματιών είναι $\displaystyle{m+n =4k+5k=9k}$ , και άρα η ελάχιστη τιμή που ζητάμε είναι για $\displaystyle{k=1}$ ,

δηλαδή το $\displaystyle{9}$

(Με τον ίδιο τρόπο κάνουμε και την γενίκευση)

Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Re: Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Re: Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Re: Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Re: Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Re: Πώς θα κόψω τους σπάγγους;

Μέλη σε σύνδεση