Απλή άσκηση juniors

∫ot.T. · #1

Αν για τους θετικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι
$\frac{(\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}}{3}\leq 1$
Να βρεθεί το άθροισμα: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

#2

∫ot.T. έγραψε: ↑
Τετ Μάιος 17, 2023 10:44 pm
Αν για τους άνισους θετικούς αριθμούς a,b,c ισχύει ότι
$\frac{(\frac{a}{b})^{3}+(\frac{b}{c})^{3}+(\frac{c}{a})^{3}}{3}\leq 1$
Να βρεθεί το άθροισμα: $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$

Είναι γνωστό ότι αν $x, y,z \ge 0,$ τότε $\displaystyle {x^3} + {y^3} + {z^3} \geqslant 3xyz.$ Έτσι η δοθείσα σχέση γράφεται:

$\displaystyle {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} = 3\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}$

κι επειδή οι a,b,c

δεν είναι ίσοι μεταξύ τους, θα είναι $\boxed{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 0}$

Κάτι δεν στέκει με την άσκηση. Δεν το πρόσεξα χτες στη βιασύνη μου. Μόλις με ειδοποίησε ο vgreco ότι αφού οι αριθμοί είναι θετικοί δεν μπορεί να έχουν άθροισμα μηδέν.

Έτσι είναι $\displaystyle {\left( {\frac{a}{b}} \right)^3} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} > 3$

Εκτός αν αφαιρεθεί η λέξη "άνισοι" από την εκφώνηση, οπότε θα είναι a=b=c=1.

Henri van Aubel · #3

Αφού $\displaystyle a,b,c> 0\Longrightarrow \left ( \frac{a}{b} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{c} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{3}\geq 3 \left ( \ast \right )$

Από υπόθεση είναι $\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{c} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{3}\leq 3\left ( \ast \ast \right )$

Οπότε έχουμε την ισότητα $\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{c} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{3}=3$

Συνεπώς έχουμε ισότητα παντού και a=b=c=1

Η άσκηση μπορεί να μετασχηματιστεί σε αυτή εδώ:

Να βρείτε όλες τις διατεταγμένες τριάδες $\left ( a,b,c \right )$ θετικών πραγματικών αριθμών, που είναι τέτοιοι ώστε $\displaystyle \left ( \frac{a}{b} \right )^{3}+\left ( \frac{b}{c} \right )^{3}+\left ( \frac{c}{a} \right )^{3}\leq 3$ .

Απλή άσκηση juniors

Απλή άσκηση juniors

Re: Απλή άσκηση juniors

Re: Απλή άσκηση juniors

Μέλη σε σύνδεση