Ένα σύστημα

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

#2

orestisgotsis έγραψε: ↑
Τρί Αύγ 08, 2023 7:54 pm
Να λυθεί το σύστημα:

$\displaystyle {{x}^{2}}+xy-12{{y}^{2}}=0$

$x={{\left( 4096 \right)}^{\displaystyle\frac{y}{x}}}+\displaystyle\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}-\displaystyle\frac{49}{3}$

Είναι $x\ne 0 \ne y$ αφού τα x,y

εμφανίζονται στον παρονομαστή. Η πρώτη εξίσωση γράφεται (x-3y)(x+4y)=0

, οπότε

ή

.

Tις εξετάζουμε χωριστά. Η x=3y

με αντικατάσταση στην δεύτερη εξίσωση δίνει

$x= \left( 4096 \right)}^{y/x}+\dfrac{ x}{y} + \dfrac {y}{x}-\dfrac{49}{3} = \left( 4096 \right)}^{1/3}+3 + \dfrac {1}{3}-\dfrac{49}{3}= 16+3-16=3$ . Έπεται 'οτι y=1

, οπότε έχουμε την λύση (x,y)=(3,1)

(δεκτή).

'Ομοια η περíπτωση x=-4y

. Οδηγεί στην λύση $(x,y)=(-491/24,\, 491/96)$ (δεκτή).

∫ot.T. · #3

Αν θέσουμε $u=\frac{y}{x}$ τότε θα έχουμε
$-12u^{2}+u+1=0\Rightarrow u=\frac{1}{3}, u=-\frac{1}{4}$

Άρα αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση έχουμε 2 τιμές του x
$x=3, x=-20-\frac{11}{24}$

και έχουμε τις λύσεις
$(x,y)=(3,1),(-20-\frac{11}{24},5+\frac{11}{96})$

Ένα σύστημα

Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Re: Ένα σύστημα

Μέλη σε σύνδεση