τα αθροίσματα ανά δύο να είναι σύνθετοι αριθμοί

[Mihalis_Lambrou]

Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό πλήθος από στοιχεία του συνόλου που πρέπει να σβήσω έτσι ώστε από αυτούς που θα μείνουν, το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο να είναι σύνθετος αριθμός;

[ksofsa]

Σε hide μια λύση.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χωρίζω τους αριθμούς σε ζεύγη, ώστε το άθροισμα των αριθμών σε κάθε ζεύγος να είναι πρώτος.Αυτό μπορεί να γίνει ως εξής:
. Επομένως , στο τελικό σύνολο μπορώ να έχω μόνο έναν αριθμό από κάθε ζεύγος. Δηλαδή το τελικό σύνολο μπορεί να έχει το πολύ στοιχεία.Αυτό μπορεί να επιτευχθεί, αφαιρώντας όλους τους περιττούς αριθμούς.

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Mihalis_Lambrou]

Ποιο είναι το μικρότερο δυνατό πλήθος από στοιχεία του συνόλου που πρέπει να σβήσω έτσι ώστε από αυτούς που θα μείνουν, το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο να είναι σύνθετος αριθμός;

Αν σβήσουμε όλους τους άρτιους (που είναι ), τότε μένουν όλοι οι περιττοί που το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο είναι σύνθετος αριθμός, αφού
θα έχει τον ως επιπλέον διαιρέτη.

Ορέστη, όχι!

Για πες μου πού είναι το λογικό σφάλμα στον συλλογισμό σου;

Θα το αποκαλύψω αν δεν το γράψεις εσύ.

Επίσης, αργότερα θα γράψω λύση διαφορετική από την λύση του Κώστα.

[orestisgotsis]

ΠΕΡΙΤΤΑ

[Mihalis_Lambrou]

Κύριε Λάμπρου, γράψτε το εσείς.

Έχεις βρει έναν τρόπο (υπάρχουν άλλωστε και άλλοι) καταγραφής υποσυνόλου του όπου το άθροισμα των ζευγών του είναι σύνθετος. 'Ομως η άσκηση ζητά το μέγιστο τέτοιο υποσύνολο. Με λίγα λόγια, ποιος σου εξασφαλίζει ότι δεν μπορείς να σβήσεις λιγότερα από στοιχεία και μετά να μείνει κατάλληλο σύνολο; Το λογικό σου σφάλμα είναι σαν να μπλέκεις την ικανή με την αναγκαία συνθήκη του προβλήματος.

Βάζω μία λύση διαφορετική από του Κώστα. Θα είναι αναλυτικός, οπότε και κουραστικός, αλλά το κάνω για να δούμε τα αναγκαστικά βήματα.

Μερίζουμε το αρχικό σύνολο σε τετράδες, τις . Ισχυρίζομαι ότι από κάθε τετράδα ΠΡΕΠΕΙ (όχι ΑΡΚΕΙ) να σβήσω δύο ή περισσότερα στοιχεία. Τα κοιτάμε χωριστά.

α) . Επειδή πρώτος, ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα (ή και τα δύο) από τα ή . Αν δεν σβήσω και τα δύο (δηλαδή αν κρατήσω ένα από τα δύο) τότε ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα από τα δύο από τα . Πράγματι, αν είχα κρατήσει το , τότε πρέπει να φύγει το (αφού πρώτος) ενώ αν είχα κρατήσει το τότε πρέπει να φύγει το (αφού πρώτος). Σε κάθε περίπτωση, πρέπει να σβήσω τουλάχιστον δύο από τα στοιχεία (τα ή ή ).

β) . Επειδή πρώτος, ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα (ή και τα δύο) από τα ή . Αν δεν σβήσω και τα δύο (δηλαδή αν κρατήσω ένα από τα δύο) τότε ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα από τα δύο από τα . Πράγματι, αν είχα κρατήσει το , τότε πρέπει να φύγει το (αφού πρώτος) ενώ αν είχα κρατήσει το τότε πρέπει να φύγει το (αφού πρώτος). Σε κάθε περίπτωση, πρέπει να σβήσω τουλάχιστον δύο από τα στοιχεία (τα ή ή ).

γ) . Επειδή πρώτος, ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα (ή και τα δύο) από τα ή . Όμοια, επειδή πρώτος, ΠΡΕΠΕΙ να σβήσω ένα (ή και τα δύο) από τα ή .

δ) . Πρέπει να σβήσω ένα από τα . Όμοια, πρέπει να σβήσω ένα από τα .

Συμπέρασμα. Από κάθε τετράδα πρέπει να σβήσω τουλάχιστον από δύο στοιχεία. Δηλαδή, δεν την γλιτώνω σβήνοντας λιγότερα από , συνολικά. Ευτυχώς τα μου αρκούν. Παραδείγματα με σβησμένα που ικανοποιούν τις συνθήκες είναι τα

(οι περιττοί) , επίσης το (οι άρτιοι).