Χρωματισμένος κύβος

#1

Ένας καλλιτέχνης έχει έναν κύβο που αποτελείται από N^3

ίδιους μικρούς κύβους (όπου N>2

). Κάποια στιγμή χρωμάτισε ολόκληρη την εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου κύβου. Παρατήρησε ότι ο αριθμός των μικρών κύβων με χρώμα σε μία μόνο έδρα τους είναι ίσος με τον αριθμό των μικρών κύβων που δεν έχουν καθόλου χρώμα επάνω τους. Ποια είναι η τιμή του

;

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 2:03 pm
Ένας καλλιτέχνης έχει έναν κύβο που αποτελείται από ίδιους μικρούς κύβους (όπου ). Κάποια στιγμή χρωμάτισε ολόκληρη την εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου κύβου. Παρατήρησε ότι ο αριθμός των μικρών κύβων με χρώμα σε μία μόνο έδρα τους είναι ίσος με τον αριθμό των μικρών κύβων που δεν έχουν καθόλου χρώμα επάνω τους. Ποια είναι η τιμή του ;

Μιχάλη καλησπέρα...

Το πλήθος των κύβων που έχουν χρωματιστεί σε μια μόνο έδρα είναι
σε πλήθος:

$\displaystyle{A=6(N-2)^2 \ \ (1) }$

Το πλήθος των κύβων που δεν βάφτηκαν καθόλου είναι στο εσωτερικό
του αρχικού κύβου και είναι σε πλήθος

$\displaystyle{B=(N-2)^3 \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{A=B \Rightarrow 6(N-2)^2-(N-2)^3\Rightarrow (N-2)^2(N-8)=0 \Rightarrow N=8 \ \ (3) }$

Η (3) ισχύει γιατί $\displaystyle{N>2}$ .

Σημείωση:

Αν μπορέσω θα αναρτήσω αργότερα κι ένα σχήμα για καλύτερη κατανόηση.

Κώστας Δόρτσιος

#3

KDORTSI έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 6:06 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 06, 2026 2:03 pm
Ένας καλλιτέχνης έχει έναν κύβο που αποτελείται από ίδιους μικρούς κύβους (όπου ). Κάποια στιγμή χρωμάτισε ολόκληρη την εξωτερική επιφάνεια του μεγάλου κύβου. Παρατήρησε ότι ο αριθμός των μικρών κύβων με χρώμα σε μία μόνο έδρα τους είναι ίσος με τον αριθμό των μικρών κύβων που δεν έχουν καθόλου χρώμα επάνω τους. Ποια είναι η τιμή του ;
Μιχάλη καλησπέρα...

Το πλήθος των κύβων που έχουν χρωματιστεί σε μια μόνο έδρα είναι
σε πλήθος:

$\displaystyle{A=6(N-2)^2 \ \ (1) }$

Το πλήθος των κύβων που δεν βάφτηκαν καθόλου είναι στο εσωτερικό
του αρχικού κύβου και είναι σε πλήθος

$\displaystyle{B=(N-2)^3 \ \ (2) }$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{A=B \Rightarrow 6(N-2)^2-(N-2)^3\Rightarrow (N-2)^2(N-8)=0 \Rightarrow N=8 \ \ (3) }$

Η (3) ισχύει γιατί $\displaystyle{N>2}$ .

Σημείωση:

Αν μπορέσω θα αναρτήσω αργότερα κι ένα σχήμα για καλύτερη κατανόηση.

Κώστας Δόρτσιος

Καλημέρα...

Αναρτώ δύο εικόνες και ένα δυναμικό αρχείο που δείχνει την όλη σκέψη

της δομής του χρωματισμένου αυτού κύβου ο οποίος είναι $\displaystyle{8X8X8}$

1η Εικόνα

: Χρωματισμένος κύβος 1.png (51.33 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Ο κύβος αυτός είναι χρωματισμένος όχι με ενιαίο χρώμα, όπως ίσως

εννοείται από την εκφώνηση της άσκησης αλλά με δυο χρώματα για

να φανεί ίσως καλύτερα το τμήμα που μας ενδιαφέρει.

2η Εικόνα

: Χρματισμένος κύβος 2png.png (66.19 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές

Εδώ βλέπουμε το εσωτερικό του κύβου σε χρώμα γκρι.

Διακρίνουμε την έδρα του εσωτερικού κύβου η οποία είναι $\displaystyle{6X6}$ .

Αναρτώ και το αντίστοιχο δυναμικό σχήμα: https://www.geogebra.org/m/xphefzmc

Κώστας Δόρτσιος

Χρωματισμένος κύβος

Χρωματισμένος κύβος

Re: Χρωματισμένος κύβος

Re: Χρωματισμένος κύβος

Μέλη σε σύνδεση