Εξίσωση με παράμετρο

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

, να λυθεί η εξίσωση :

$\dfrac{2x^2+3x-k}{2x^2-3x+k}+\dfrac{2x^2-3x+k}{2x^2+3x-k}=\dfrac{2x+3}{2x-3}+\dfrac{2x-3}{2x+3}$

abgd · #2

KARKAR έγραψε: Κυρ Απρ 19, 2026 2:13 pm Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού , να λυθεί η εξίσωση :

$\dfrac{2x^2+3x-k}{2x^2-3x+k}+\dfrac{2x^2-3x+k}{2x^2+3x-k}=\dfrac{2x+3}{2x-3}+\dfrac{2x-3}{2x+3}$

Αν η εξίσωση έχει λύσεις όλους τους πραγματικούς αριθμούς εκτός των $0, \pm\dfrac{3}{2}$

Αν $k\ne 0$

Μία προφανής λύση της εξίσωσης είναι η x=0

Για $x\ne 0, x\ne \pm \dfrac{3}{2}$ θέτουμε: $2x^2+3x=y, \ \ 2x^2-3x=z$ και η εξίσωση γίνεται:

$\dfrac{y-k}{z+k}+\dfrac{z+k}{y-k}=\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}$

Είναι $yz\ne 0$ και εφόσον $y\ne k, z\ne -k$ θα έχουμε:

$\dfrac{(y-k)^2+(z+k)^2}{2(y-k)(z-k)}=\dfrac{y^2+z^2}{2yz}$

Προσθέτοντας το

και στα δύο μέλη προκύπτει ισοδύναμα η

$\dfrac{(y+z)^2}{2(y-k)(z+k)}=\dfrac{(y+z)^2}{2yz}\Leftrightarrow y-z=k$

Η τελευταία εξίσωση ικανοποιεί τον περιορισμό $y\ne k, z\ne -k$ και είναι ισοδύναμη με την 6x=k

, η οποία δίνει την λύση $x=\dfrac{k}{6}$

Εφόσον όμως πρέπει $x\ne \pm \dfrac{3}{2}$ θα πρέπει να διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

Αν $k=\pm 9$ η εξίσωση έχει μοναδική λύση την

Αν $k\ne\pm 9$ και $k\ne 0$ η εξίσωση έχει δύο λύσεις τους αριθμούς και $\dfrac{k}{6}$

Εξίσωση με παράμετρο

Εξίσωση με παράμετρο

Re: Εξίσωση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση